ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 308: Элементы симметрии правильных многогранников

План решения.

Для нахождения высот боковых граней (апофем пирамиды) воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах. Высота боковой грани — это отрезок, соединяющий вершину пирамиды с точкой на стороне основания так, что этот отрезок перпендикулярен стороне основания. Поскольку высота пирамиды проходит через центр ромба (точку пересечения диагоналей), то проекцией апофемы на плоскость основания является отрезок, проведённый из центра ромба перпендикулярно к его стороне. Таким образом, задача сводится к двум этапам: сначала найти расстояние от центра ромба до его стороны, а затем вычислить длину апофемы по теореме Пифагора, используя найденное расстояние и высоту пирамиды.

Вычисление.

1. Найдём вторую диагональ ромба. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Пусть d₁=6 см — меньшая диагональ, тогда её половина равна 3 см. Сторона ромба a=5 см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половиной диагоналей и стороной ромба, найдём половину большей диагоны x: x=a²-(d₁/2)²=5²-3²=25-9=16=4 см . Значит, большая диагональ d₂=8 см.
2. Вычислим площадь ромба двумя способами. Первый способ — через диагонали: S_ромба =1/2d₁d₂=1/2·6·8=24 см² . Второй способ — через сторону и высоту ромба (h_ромба): S_ромба =a·h_ромба ⇒24=5·h_ромба ⇒h_ромба =24/5=4,8 см .
3. Найдём расстояние от центра ромба до стороны. Центр ромба лежит на середине высоты ромба (так как он симметричен относительно центра). Обозначим искомое расстояние за r. Тогда: r=h_ромба/2 =4,8/2=2,4 см . Это расстояние является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — это искомая высота боковой грани (апофема l), а второй катет — высота пирамиды H=3,2 см.
4. По теореме Пифагора найдём апофему l: l=r²+H²=2,4²+3,2². Вычислим квадраты: 2,4²=5,76, 3,2²=10,24. l=5,76+10,24=16=4 см .

Проверка.

Так как основание — ромб, все его стороны равны, и расстояния от центра до всех сторон одинаковы. Следовательно, все четыре боковые грани имеют одинаковую высоту (апофему). Мы получили значение 4 см. Проверим логику: если бы мы ошиблись в нахождении площади или расстояния, результат не совпал бы с целым числом при таких «удобных» исходных данных (3-4-5 и 2,4-3,2-4 — это масштабированные пифагоровы тройки 3-4-5 и 3-4-5 соответственно, умноженные на 0,8). Расстояние 2,4 и высота 3,2 образуют пропорцию 3:4, значит гипотенуза должна быть кратна 5. 0,8·5=4. Всё верно.