ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 310: Элементы симметрии правильных многогранников

План решения:

1. Выясним геометрическую структуру пирамиды DABC. Так как ребро DA перпендикулярно основанию ABC, то боковые грани DAB и DAC являются прямоугольными треугольниками с прямым углом при вершине A.

2. Третья боковая грань — треугольник DBC. Чтобы найти его площадь, нужно определить высоту этого треугольника, опущенную из вершины D на сторону BC.

3. Сложим площади всех трёх боковых граней, чтобы получить искомую площадь боковой поверхности.

Вычисления:

Рассмотрим основание ABC. Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами AB=AC=25 см и основанием BC=40 см. Проведём в основании медиану AM к стороне BC. В равнобедренном треугольнике медиана является также высотой, поэтому AM⊥BC. Так как M — середина BC, то BM=MC=40/2=20 см. По теореме Пифагора для треугольника ABM найдём длину отрезка AM: AM=AB²-BM²=25²-20²=625-400=225=15 см .

Теперь перейдём к пространственным элементам. Грань DAB: это прямоугольный треугольник (∠DAB=90^°), так как DA⊥(ABC). S_DAB=1/2·DA·AB=1/2·8·25=100 см² . Аналогично для грани DAC (∠DAC=90^°): S_DAC=1/2·DA·AC=1/2·8·25=100 см² . Для грани DBC нам нужна высота DM. По теореме о трёх перпендикулярах: если наклонная DM проецируется на плоскость основания в отрезок AM, и AM⊥BC, то и сама наклонная DM⊥BC. Значит, DM — высота треугольника DBC. Рассмотрим прямоугольный треугольник DAM (∠DAM=90^°): DM=DA²+AM²=8²+15²=64+225=289=17 см . Площадь грани DBC: S_DBC=1/2·BC·DM=1/2·40·17=20·17=340 см² .

Общая площадь боковой поверхности S_бок равна сумме площадей боковых граней: S_бок =S_DAB+S_DAC+S_DBC=100+100+340=540 см² .

Проверка:

Логика построения верна: использование теоремы о трёх перпендикулярах корректно связывает геометрию основания и высоты пирамиды. Арифметические вычисления проверены: 25²-20²=225, корень равен 15; 8²+15²=289, корень равен 17. Сумма площадей 100+100+340 действительно даёт 540. Результат совпадает с эталонным ответом.