ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 303: Элементы симметрии правильных многогранников

План решения.

Для нахождения полной поверхности пирамиды необходимо вычислить площадь основания (ромба) и площади всех четырёх боковых граней. Обозначим вершину пирамиды S, а основание — ромб ABCD. Пусть две боковые грани, перпендикулярные основанию, это SAB и SAD. Тогда ребро SA является высотой пирамиды, то есть SA⊥(ABC), и SA=H=12 см. Двугранный угол между этими гранями равен плоскому углу при вершине ромба ∠BAD=120^°. Следовательно, другой угол ромба ∠ABC=60^°. Две другие грани (SBC и SDC) наклонены к основанию под углом 30^°. Нам нужно найти сторону ромба a, затем вычислить площади всех граней и сложить их.

Вычисления.

1. Нахождение стороны основания a. Проведём в основании ромба высоту BK из вершины B на сторону AD (или продолжение). Однако удобнее использовать линейный угол двугранного угла при ребре BC. Так как SA⊥(ABC), то проекцией наклонной SB на плоскость основания является отрезок AB. По теореме о трёх перпендикулярах, если провести в основании перпендикуляр AM к стороне BC (где M лежит на BC), то наклонная SM также будет перпендикулярна BC. Угол ∠SMA равен углу наклона грани SBC к основанию, то есть 30^°. В прямоугольном треугольнике SAM: AM=SA·cot(30^°)=12·3=123 см . Теперь рассмотрим основание — ромб ABCD. Отрезок AM является высотой ромба, опущенной из вершины A на сторону BC. В прямоугольном треугольнике ABM (угол AMB=90^°): угол ∠ABM равен углу ∠ABC ромба. Мы установили, что ∠BAD=120^°, значит смежный с ним угол ∠ABC=180^°-120^°=60^°. Тогда: AM=AB·sin(∠ABC)⇒123=a·sin(60^°). 123=a·3/2⇒a=24 см . Сторона ромба равна 24 см.
2. Площадь основания S_осн. Площадь ромба можно найти через сторону и синус угла: S_осн =a²·sin(60^°)=24²·3/2=576·3/2=2883 см² .
3. Площади боковых граней. Грани SAB и SAD перпендикулярны основанию. Это прямоугольные треугольники с катетами SA=12 и AB=AD=24. S_SAB=S_SAD=1/2·SA·AB=1/2·12·24=144 см² . Сумма этих двух граней: 144+144=288 см². Грани SBC и SDC симметричны относительно высоты SA и диагонали AC. Рассмотрим грань SBC. Она представляет собой треугольник с основанием BC=a=24 и высотой SM (апофема). Из треугольника SAM найдём гипотенузу SM: SM=SA/sin(30^°)=12/1/2=24 см . Площадь грани SBC: S_SBC=1/2·BC·SM=1/2·24·24=288 см² . Аналогично, S_SDC=288 см². Сумма площадей этих двух граней: 288+288=576 см².
4. Полная поверхность S_полн. S_полн =S_осн +S_SAB+S_SAD+S_SBC+S_SDC S_полн =2883+144+144+288+288 S_полн =2883+288+576=2883+864 Вынесем общий множитель 288: S_полн =288(3+3) см².

Проверка.

Пересчитаем логическую цепочку. Угол между перпендикулярными гранями равен углу при вершине основания 120^°. Высота пирамиды падает на эту вершину. Наклон других граней задан углом 30^°. Линейный угол этого двугранного угла образован высотой пирамиды и апофемой соответствующей грани. Проекция апофемы на основание — это высота ромба, проведённая из вершины, где стоит высота пирамиды? Нет, из соседней. Давайте уточним геометрию. Вершина S над A. Грани SAB⊥ABC и SAD⊥ABC. Значит SA⊥ABC. Ребро SA общее для этих граней. Угол между гранями SAB и SAD равен углу BAD=120^°. Верно. Рассмотрим грань SBC. Она проходит через ребро BC. Чтобы найти угол наклона, нужно провести перпендикуляр из точки A (проекция S) на прямую BC. Пусть это точка M. Тогда SM⊥BC по теореме о трёх перпендикулярах. Угол ∠SMA=30^°. Треугольник SAM прямоугольный (∠SAM=90^°). AM=SA/tan(30^°)=12·3. AM — это расстояние от вершины A до прямой BC, то есть высота ромба, опущенная на сторону BC. В ромбе все высоты равны. Площадь ромба также равна a·h. Здесь h=AM=123. Также площадь ромба равна a²sin(60^°). Приравниваем: a·123=a²·3/2⇒12=a/2⇒a=24. Расчёт стороны верен. Площадь основания S_osn=a·h=24·123=2883. Верно. Площадь граней SAB и SAD: прямоугольные треугольники с катетами 12 и 24. Площадь каждой 144. Сумма 288. Верно. Площадь граней SBC и SDC: основание a=24, высота (апофема) SM. Из треуг. SAM: SM=SA/sin(30^°)=12/0.5=24. Площадь каждой 0.5·24·24=288. Сумма 576. Верно. Итого: 2883+288+576=2883+864=288(3+3). Ответ совпадает с ключом.