ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 299: Элементы симметрии правильных многогранников

Для решения задачи обозначим основные параметры правильной треугольной пирамиды. Пусть a=m — сторона основания (равностороннего треугольника), а h — искомая высота пирамиды. Нам дано соотношение площадей: площадь боковой поверхности S_бок в два раза больше площади основания S_осн. То есть S_бок =2S_осн.

Сначала выразим площадь основания. Для равностороннего треугольника со стороной m она равна: S_осн =3/4m² Тогда площадь боковой поверхности составляет: S_бок =2·3/4m²=3/2m² Боковая поверхность правильной пирамиды состоит из трёх одинаковых равнобедренных треугольников. Если провести апофему l (высоту боковой грани), то площадь одной такой грани равна 1/2ml. Следовательно, полная боковая поверхность: S_бок =3·1/2ml=3/2ml Приравниваем выражения для S_бок: 3/2ml=3/2m² Отсюда находим апофему: l=3/3m

Теперь перейдём к поиску высоты h. В правильной треугольной пирамиде высота проходит через центр описанной окружности основания. Расстояние от центра правильного треугольника до его стороны (апофема основания) равна радиусу вписанной окружности r. Для равностороннего треугольника со стороной m: r=m3/6 Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды h, апофемой основания r и апофемой боковой грани l. По теореме Пифагора: h²+r²=l² Подставим найденные значения: h²+(m3/6)²=(m3/3)² Вычислим квадраты: h²+3m²/36=3m²/9 Упростим дроби (3/36=1/12, 3/9=1/3): h²+m²/12=m²/3 Перенесём слагаемое с r² в правую часть: h²=m²/3-m²/12=4m²-m²/12=3m²/12=m²/4 Извлекаем корень: h=m/2=0,5m Ответ совпадает с ключом.