ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 295: Элементы симметрии правильных многогранников

Рассмотрим наклонный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, основанием которого является ромб. По условию боковое ребро CC₁ составляет равные углы со сторонами основания CB и CD. Нам нужно доказать четыре утверждения о взаимном расположении прямых и плоскостей.

а) Докажем, что CC₁⊥BD.

Так как основание — ромб, его диагонали перпендикулярны: AC⊥BD. Пусть точка O — центр основания (точка пересечения диагоналей). Рассмотрим проекцию ребра CC₁ на плоскость основания. Поскольку CC₁ образует равные углы со сторонами CB и CD, проекция этого ребра лежит на биссектрисе угла BCD. В ромбе диагональ AC является биссектрисой угла BCD. Следовательно, проекция вектора CC₁ совпадает с направлением прямой AC.

По теореме о трёх перпендикулярах: если проекция наклонной (CC₁) перпендикулярна прямой в плоскости (BD), то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Так как AC⊥BD и проекция CC₁ лежит на AC, то CC₁⊥BD.

б) Докажем, что BB₁D₁D — прямоугольник.

В параллелепипеде противоположные рёбра параллельны и равны, поэтому четырёхугольник BB₁D₁D является параллелограммом. Чтобы он стал прямоугольником, достаточно доказать, что его смежные стороны перпендикулярны, например, BB₁⊥BD.

Так как BB₁∥CC₁, а из пункта (а) мы доказали, что CC₁⊥BD, то следует, что BB₁⊥BD. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

в) Докажем, что BD⊥AA₁C₁.

Здесь под AA₁C₁ подразумевается плоскость, проходящая через точки A,A_1,C₁. Заметим, что эта плоскость совпадает с плоскостью диагонального сечения ACC₁A₁, так как AA₁∥CC₁.

Докажем, что прямая BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости ACC₁A₁:

1. BD⊥AC (так как диагонали ромба перпендикулярны);
2. BD⊥CC₁ (доказано в пункте а).

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в некоторой плоскости, то она перпендикулярна всей этой плоскости. Следовательно, BD⊥(ACC₁A₁), или кратко BD⊥AA₁C₁.

г) Докажем, что AA₁C₁⊥BB₁D₁.

Мы имеем две плоскости: (ACC₁A₁) и (BDD₁B₁).

Из пункта (в) известно, что прямая BD перпендикулярна плоскости (ACC₁A₁). Прямая BD лежит в плоскости (BDD₁B₁).

Признак перпендикулярности плоскостей гласит: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Так как плоскость (BDD₁B₁) содержит прямую BD, которая перпендикулярна плоскости (ACC₁A₁), то эти плоскости взаимно перпендикулярны. То есть AA₁C₁⊥BB₁D₁.