ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 292: Элементы симметрии правильных многогранников

План решения.

В правильной трёхугольной призме ABCA₁B₁C₁ основание — равносторонний треугольник со стороной a=6 см, а боковые рёбра перпендикулярны основанию и имеют длину h=8 см. Нам нужно найти расстояние от стороны основания (например, AB) до скрещивающейся с ней диагонали боковой грани (например, A₁C или B₁C, они симметричны относительно плоскости, проходящей через середину AB). Выберём диагональ A₁C. Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти как высоту параллелепипеда, построенного на этих прямых, или используя метод координат/площадей. Проще всего рассмотреть проекцию или использовать формулу расстояния через объём тетраэдра, образованного концами отрезков и общими перпендикулярами, но здесь удобнее геометрический подход: построим общий перпендикуляр.

Вычисление.

Рассмотрим прямые AB и A₁C. Прямая AB лежит в плоскости основания ABC. Спроектируем диагональ A₁C на плоскость основания. Проекцией точки A₁ является точка A, проекцией точки C является точка C. Таким образом, проекция прямой A₁C на плоскость основания — это прямая AC. Угол между прямой AB и её проекцией... нет, так не совсем верно для расстояния.

Используем другой способ. Пусть мы ищем расстояние между прямыми l₁=AB и l₂=A₁C. Построим плоскость β, проходящую через прямую AB и параллельную прямой A₁C. Тогда расстояние от любой точки прямой A₁C до плоскости β будет искомым расстоянием между прямыми.

Так как A₁CnotbotABC, то плоскость β не совпадает с ABC. Однако заметим, что вектор A₁C=AC-AA₁. Вектор AB лежит в основании. Найдем нормаль к плоскости, содержащей AB и параллельной A₁C. Это сложно.

Проще использовать формулу расстояния между скрещивающимися прямыми через смешанное произведение векторов:

Выберем начало координат в точке A. Ось x направим вдоль AB. Тогда A(0;0;0), B(6;0;0). Так как треугольник ABC правильный, то C(3;33;0). Точка A₁ имеет координаты (0;0;8).

Векторы:

• AB=(6;0;0)
• A₁C=C-A₁=(3;33;-8)
• Вектор связи AA₁=(0;0;8) (или любой другой, соединяющий точки на прямых, например AC=(3;33;0), но лучше взять тот, который проще).

Числитель: смешанное произведение (AB,A₁C,AA₁).

Знаменатель: модуль векторного произведения [AB,A₁C].

Модуль этого вектора:

Упростим корень: 3276=36·91. Значит, 3276=691.

Тогда расстояние:

Это значение примерно равно 24·1.732/9.539≈4.36. Не совпадает с ключом 4.8. Проверим условие задачи. «Расстояние от стороны основания до скрещивающейся с ней диагонали боковой грани». Возможно, имеется в виду диагональ той же грани? Нет, тогда они пересекаются. Диагональ соседней грани?

Давайте рассмотрим диагональ BC₁. Она скрещивается с AB? Да. Но по симметрии результат должен быть тем же.

А может быть, задача решается проще, если рассмотреть частный случай? Если бы призма была прямоугольным параллелепипедом, ответ был бы другим. Здесь призма правильная.

Пересчитаем числитель. Смешанное произведение векторов AB, A₁C и AC (вектор, соединяющий точку на первой прямой с точкой на второй). Возьмем AC=(3;33;0).

Результат тот же.

Проверим знаменатель еще раз. AB=(6,0,0), A₁C=(3,33,-8). Векторное произведение: i(0)-j(-48)+k(183). Квадрат длины: 48²+(183)²=2304+972=3276. Все верно.

Почему ключ 4.8? 4.8=24/5. Может быть, я неправильно выбрал диагональ? «Диагональ боковой грани». Боковая грань — это прямоугольник 6×8. Диагональ A₁C соединяет вершины разных оснований. Она действительно скрещивается с AB.

Попробуем другой геометрический смысл. Иногда под «расстоянием от стороны до диагонали» понимают расстояние в плоскости, перпендикулярной одной из них? Нет.

Давайте проверим вариант, когда диагональ принадлежит грани, не имеющей общих вершин со стороной? В треугольной призме каждая сторона основания входит в две боковые грани. Диагональ одной из этих граней пересекает сторону (в вершине). Диагональ третьей грани (противоположной стороне?) В треугольной призме нет противоположной грани. Есть три боковые грани. Сторона AB общая для граней ABB₁A₁ и ACC₁A₁? Нет, AB входит в грань ABB₁A₁. Соседние грани: BCC₁B₁ и ACC₁A₁. Диагональ грани BCC₁B₁: BC₁ или CB₁. Они скрещиваются с AB. Диагональ грани ACC₁A₁: AC₁ или CA₁. Они скрещиваются с AB.

Все эти случаи симметричны. Мой расчет дает ≈4.36 см.

Однако, есть классическая ошибка в интерпретации задач такого типа в школьных сборниках. Часто подразумевается, что нужно найти расстояние от прямой до плоскости, если они параллельны. Но здесь они скрещиваются.

Давайте посмотрим на число 4.8. 4.8=24/5. Откуда могут взяться 5 и 24? Высота правильного треугольника h_base=33≈5.2. Диагональ грани d_face=6²+8²=10. Площадь грани S=48. Расстояние от вершины до гипотенузы в прямоугольном треугольнике 6-8-10 равно 6·8/10=4.8.

Гипотеза: Задача может иметь опечатку в условии или в ключевом ответе, либо речь идет о расстоянии от центра основания до чего-то? Или от стороны основания до диагонали сечения ?

Но давайте внимательно прочитаем: «расстояние от стороны основания до скрещивающейся с ней диагонали боковой грани».

Если мы возьмем диагональ A₁C и сторону AB. Рассмотрим проекцию всей конструкции на плоскость, перпендикулярную ребру AA₁ (то есть на основание). AB проецируется в себя, A₁C проецируется в AC. Угол между ними 60^°. Это не помогает напрямую.

Вернемся к вычислению d=243/91. 91≈9.54. 24·1.732/9.54≈4.36.

Есть ли другая диагональ? Например, если бы призма была четырехугольной, ответ мог бы быть 4.8. Для треугольной призмы ответ 4.8 получается только если считать расстояние от вершины C до диагонали AB₁ в грани ABB₁A₁? Нет, они не скрещиваются в смысле «общего перпендикуляра», но расстояние от точки до прямой. Расстояние от C до AB₁? C удалена от плоскости ABB₁A₁ на высоту треугольника 33. Проекция C на эту плоскость — середина AB (так как призма правильная, грань вертикальна, а C находится над серединой AB? Нет, C находится на расстоянии высоты от AB).

Давайте найдем расстояние от точки C до прямой AB₁ (диагональ грани ABB₁A₁). Эта прямая скрещивается с AB? Нет, AB₁ пересекает AB в точке A. Значит, они не скрещивающиеся.

Что если задача подразумевает расстояние от стороны AB до диагонали CD? Но D нет.

Скорее всего, в учебнике или решебнике произошла путаница с типом призмы (например, для прямоугольного параллелепипеда 6×8×h расстояние могло бы быть простым), либо ключ относится к другой задаче. Однако, правило гласит: «ключ ... ориентир, а не приказ; если числа в условии дают другой результат, пиши свой».

Я напишу корректное решение для заданных данных. Результат 243/91 см.

Но подождите! А вдруг «диагональ боковой грани» означает диагональ сечения, проходящего через сторону основания? Нет, «боковой грани» — это стандартный термин для грани ABB₁A₁.

Проверим еще один вариант. Может быть, нужно найти расстояние между скрещивающимися диагоналями двух граней? Нет, сказано «от стороны основания».

Оставим строгий математический вывод. Ответ ≈4.36 см. Ключ 4.8 см соответствует высоте прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 (6·8/10=4.8). Это расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы. В контексте призмы это расстояние от точки C (если бы она лежала в плоскости грани?) до диагонали? Или расстояние от центра грани до ребра?

Возможно, автор задачи имел в виду расстояние от центра основания до диагонали боковой грани? Или от вершины основания до диагонали соседней боковой грани, не содержащей эту вершину?

Пусть сторона AB. Вершина C. Диагональ грани ACC₁A₁? Там C лежит. Диагональ AC₁. Расстояние от B до AC₁?

Так как инструкция требует писать оригинальное решение и следовать условию, я приведу точный расчет для условия «расстояние от стороны AB до скрещивающейся диагонали A₁C».

Проверка.

Мы использовали метод координат, который надежен для таких задач. Числитель — объем параллелепипеда, построенного на векторах AB,A₁C,AA₁, равен 1443. Знаменатель — площадь параллелограмма, натянутого на направления прямых, равна 691. Отношение дает искомое расстояние. Десятичное приближение 4.36 см существенно отличается от 4.8 см, что указывает на возможную ошибку в ключе учебника (возможно, ключ взят от задачи про расстояние от вершины до диагонали грани в другом многограннике или для другого угла). Тем не менее, строго по условию ответ таков.