ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 287: Элементы симметрии правильных многогранников

План решения.

Для нахождения расстояний в правильном октаэдре удобно использовать его связь с кубом. Правильный октаэдр можно вписать в куб так, чтобы вершины октаэдра совпадали с центрами граней куба. Если ребро октаэдра равно a, то диагональ грани куба равна a. Пусть сторона куба равна x. Тогда по теореме Пифагора для грани куба: x²+x²=a²⇒2x²=a²⇒x=a/2. Центр октаэдра совпадает с центром куба. Расстояния от центра до вершин, центров граней и самих граней можно выразить через параметры этого куба или напрямую через геометрию октаэдра.

Вычисление.

а) Расстояние между двумя противоположными вершинами.

Противоположные вершины октаэдра лежат на одной прямой, проходящей через центр октаэдра. Эта прямая является осью симметрии. В модели с кубом две противоположные вершины октаэдра — это центры двух противоположных граней куба. Расстояние между центрами противоположных граней куба равно стороне куба x? Нет, давайте проверим координатами. Введем систему координат с началом в центре октаэдра. Вершины октаэдра имеют координаты (±R,0,0),(0,±R,0),(0,0,±R), где R — расстояние от центра до вершины. Ребро соединяет, например, (R,0,0) и (0,R,0). Длина ребра: a=(R-0)²+(0-R)²+(0-0)²=2R²=R2 Отсюда R=a/2. Расстояние между противоположными вершинами (например, (R,0,0) и (-R,0,0)) равно 2R. d₁=2R=2·a/2=a2

б) Расстояние между центрами двух смежных граней.

Грань октаэдра — правильный треугольник со стороной a. Центр грани (центроид) находится на расстоянии r_in от вершин этой грани, где r_in — радиус вписанной окружности правильного треугольника со стороной a: r_in=a3/6. Однако нам нужно расстояние между центрами смежных граней. Рассмотрим два соседних треугольника, имеющих общее ребро. Их центры лежат в плоскостях этих граней. Удобнее использовать координаты. Пусть общая вершина смежных граней имеет координаты (0,0,R), а общие для них вершины основания — (R,0,0) и (0,R,0). Это не совсем верно для смежных граней, они делят ребро. Давайте возьмем конкретные вершины. Пусть октаэдр задан вершинами A(a/2,0,0), B(0,a/2,0), C(0,0,a/2), D(-a/2,0,0), E(0,-a/2,0), F(0,0,-a/2). Рассмотрим грань ABC и смежную ей грань ABF (общее ребро AB). Координаты центра грани ABC (O₁): среднее арифметическое координат вершин. x_O1=1/3(a/2+0+0)=a/32 y_O1=1/3(0+a/2+0)=a/32 z_O1=1/3(0+0+a/2)=a/32 O₁(a/32,a/32,a/32) Координаты центра грани ABF (O₂): x_O2=1/3(a/2+0+0)=a/32 y_O2=1/3(0+a/2+0)=a/32 z_O2=1/3(0+0-a/2)=-a/32 O₂(a/32,a/32,-a/32) Расстояние d₂=|O₁O₂|: d₂=(x_O1-x_O2)²+(y_O1-y_O2)²+(z_O1-z_O2)² Разности координат: Δx=0,Δy=0,Δz=a/32-(-a/32)=2a/32=a2/3 d₂=0²+0²+(a2/3)²=a2/3

в) Расстояние между противоположными гранями.

Противоположные грани параллельны. Расстояние между ними равно удвоенному расстоянию от центра октаэдра до любой из граней (апотема пирамиды, если рассматривать половину октаэдра). Рассмотрим грань ABC. Ее уравнение плоскости. Нормаль к плоскости ABC проходит через начало координат и центр грани O₁. Вектор нормали n=(1,1,1) (так как координаты O₁ пропорциональны 1,1,1). Уравнение плоскости, проходящей через A(a/2,0,0) с нормалью (1,1,1): 1(x-a/2)+1(y-0)+1(z-0)=0⇒x+y+z=a/2. Расстояние от начала координат (0,0,0) до этой плоскости: h=|0+0+0-a/2|/1²+1²+1²=a/2/3=a/6=a6/6 Это расстояние от центра до грани. Расстояние между противоположными гранями d₃=2h: d₃=2·a6/6=a6/3

Проверка.

Сравним полученные результаты с ключом. а) a2 — совпадает. б) a2/3 — совпадает с 2/3a. в) a6/3 — совпадает. Логика построения координат и формул расстояний корректна для правильного октаэдра.