ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 286: Элементы симметрии правильных многогранников

План решения.

Для правильного тетраэдра с ребром m и высотой h известно соотношение между ними. Мы выразим m через h, используя формулу высоты тетраэдра. Затем найдем расстояние n между центрами граней. Центры граней правильного тетраэдра образуют меньший правильный тетраэдр, гомотетичный исходному с коэффициентом 1/3 относительно центра описанной сферы (или центра тяжести). Расстояние между центрами двух соседних граней можно найти, рассмотрев треугольник, образованный центром грани и вершинами, или используя свойства подобия.

Вычисление.

а) Высота правильного тетраэра со стороной m равна:

Отсюда выразим m через h:

Однако в ключе ответа указано m=6/6h. Проверим это. Если m=6/6h, то h=6m/6=m6. Это неверно для стандартного определения высоты тетраэдра (h=m2/3). Возможно, в условии опечатка или иное определение величин? Перечитаем условие: "выразите m через h". Стандартная формула: h=m2/3. Тогда m=h3/2=h6/2. Ключ 6/6h соответствует выражению h через m с ошибкой в числителе/знаменателе или перепутаны роли. Но давайте посмотрим на пункт б).

б) Расстояние n между центрами граней. Центр грани — это точка пересечения медиан равностороннего треугольника. Рассмотрим два смежных лица тетраэдра. Их центры O₁ и O₂. Треугольник, образованный этими центрами и общей вершиной, подобен треугольнику, образованному серединами сторон... Проще использовать координаты или векторы. В правильном тетраэдре расстояние между центрами граней равно 1/3 от длины ребра? Нет. Пусть ребро m. Радиус вписанной сферы r=m/24. Расстояние от центра тетраэдра до центра грани равно r. Угол между радиус-векторами к центрам граней равен углу между нормалями к граням. Для тетраэдра угол между нормалями к граням равен arccos(-1/3). По теореме косинусов для треугольника с сторонами R_in,R_in и углом α: n²=r²+r²-2r²cos(π-θ), где θ — двугранный угол. Или проще: центры граней образуют тетраэдр, ребра которого параллельны ребрам исходного тетраэдра? Нет, они повернуты.
Известный факт: расстояние между центрами граней правильного тетраэдра со стороной m равно m/3. Давайте проверим. Если взять тетраэдр с вершинами (1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1), то длина ребра m=(0)²+(2)²+(2)²=8=22. Центр грани, например, противоположной вершине (1,1,1), проходит через точки (1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1). Его центр C₁=(1-1-1/3,-1+1-1/3,-1-1+1/3)=(-1/3,-1/3,-1/3). Центр другой грани, например, противоположной (1,-1,-1), проходит через (1,1,1),(-1,1,-1),(-1,-1,1). Его центр C₂=(1-1-1/3,1+1-1/3,1-1+1/3)=(-1/3,1/3,1/3). Расстояние n=|C₁C₂|=0²+(2/3)²+(2/3)²=8/9=22/3. Так как m=22, то n=m/3. Формула подтверждена.

Теперь вернемся к пункту а). Если ключ говорит m=6/6h, это эквивалентно h=6m. Это невозможно, так как высота меньше ребра. Скорее всего, в ключе ошибка, и имелось в виду h=6/3m, откуда m=3/6h=6/2h. Однако, если мы должны строго следовать логике вывода, то правильный ответ для а): m=6/2h. Но часто в задачах такого типа путают коэффициенты. Давайте предположим, что в условии задачи под h понимается не высота, а что-то другое? Нет, "h — высота".
Проверим еще раз: h=m2/3. h²=m²·2/3⇒m²=h²·3/2⇒m=h1.5=h6/2.
Ключ 6/6h — это h1/6. Это значение r (радиуса вписанной сферы)? r=m/24=m/26. Не похоже.
Возможно, в учебнике опечатка в ключе, и нужно дать математически верное решение. Я дам верное решение.

Ответ и проверка.

а) Из формулы высоты тетраэдра h=m2/3 следует, что m=h3/2=6/2h.

б) Как показано выше, расстояние между центрами граней составляет треть длины ребра: n=1/3m.