ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 282: Элементы симметрии правильных многогранников
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Вера Лапина, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Найдите угол между двумя рёбрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани (см. рис. 89).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Рассмотрим правильный октаэдр. Нам нужно найти угол между двумя рёбрами, которые выходят из одной вершины, но не лежат в одной грани. Вспомним структуру октаэдра: каждая его вершина является общей для четырёх граней (равносторонних треугольников). Из любой вершины выходит четыре ребра. Любые два соседних ребра (лежащие в одной грани) образуют угол 60°, так как грани — равносторонние треугольники. Однако нам нужны ребра, не принадлежащие одной грани. В наборе из четырёх рёбер, выходящих из одной вершины, каждое ребро имеет ровно одно «противоположное» ему ребро в этом же пучке, которое не лежит с ним в одной грани. Остальные два ребра лежат с ним в общих гранях. Таким образом, задача сводится к нахождению угла между диагонально противоположными рёбрами в вершине октаэдра.
Вычисление.
Для удобства поместим центр октаэдра в начало координат (0;0;0) и расположим его вершины на осях координат. Пусть длина ребра октаэдра равна a. Тогда координаты вершин можно задать так:
A1(a/2;0;0), A2(-a/2;0;0), B1(0;a/2;0), B2(0;-a/2;0), C1(0;0;a/2), C2(0;0;-a/2).Проверим длину ребра, например, между A1 и B1:
|A1B1|=(a/2-0)2+(0-a/2)2+(0-0)2=a2/2+a2/2=a2=a.Возьмём вершину A1. Из неё выходят рёбра к B1,B2,C1,C2. Рассмотрим два ребра, не лежащие в одной грани. Например, ребро A1B1 и ребро A1C2. Проверим, лежат ли они в одной грани. Грани при вершине A1: A1B1C1, A1B1C2? Нет, давайте определим грани точнее. Октаэдр состоит из двух пирамид с основанием квадрат B1C1B2C2 и вершинами A1,A2. Боковые грани первой пирамиды: A1B1C1, A1C1B2, A1B2C2, A1C2B1. Значит, ребро A1B1 лежит в гранях A1B1C1 и A1B1C2. Ребро A1C2 лежит в гранях A1C2B1 (это та же самая грань A1B1C2) и A1C2B2. Ага, значит A1B1 и A1C2 лежат в одной грани A1B1C2. Их угол 60°. Нам нужны те, что НЕ в одной грани. Возьмём ребро A1B1 и ребро A1B2. Они не имеют общей грани (общая только вершина A1). Найдем угол между векторами A1B1 и A1B2.
Координаты точек: A1(a/2;0;0), B1(0;a/2;0), B2(0;-a/2;0).
Векторы:
A1B1=(0-a/2;a/2-0;0-0)=(-a/2;a/2;0), A1B2=(0-a/2;-a/2-0;0-0)=(-a/2;-a/2;0).Найдем скалярное произведение этих векторов:
A1B1·A1B2=(-a/2)(-a/2)+(a/2)(-a/2)+0·0=a2/2-a2/2=0.Так как скалярное произведение равно нулю, а длины векторов ненулевые, то косинус угла равен 0, следовательно, угол равен 90°.
Проверка и геометрическая интерпретация.
Можно рассуждать чисто геометрически. Вершины октаэдра, смежные с данной вершиной A, образуют квадрат (сечение октаэдра плоскостью, перпендикулярной оси симметрии, проходящей через A и противоположную вершину). Рёбра, выходящие из A к вершинам этого квадрата, являются боковыми сторонами пирамиды. Угол между соседними рёбрами (сторонами грани) равен 60°. Угол между противолежащими рёбрами в основании этой пирамиды (диагоналями квадрата основания?) Нет, рёбра идут к вершинам квадрата. Противоположные рёбра в смысле «не в одной грани» соответствуют векторам, идущим к противоположным вершинам квадрата основания? Нет, к соседним по кругу, но не имеющим общего треугольника с первым. В квадрате B1C1B2C2 вершины идут по порядку. Ребро AB1 и ребро AB2 не лежат в одной грани, так как грани это AB1C1 и AB2C2 (или другие комбинации, важно что B1 и B2 не соединены ребром октаэдра, они соединены диагональю квадрата сечения). Треугольник AB1B2 — это сечение октаэдра плоскостью, проходящей через ось AA′ и диагональ B1B2. Так как B1B2 — диагональ квадрата со стороной a, то её длина a2. Стороны AB1 и AB2 равны a. По теореме Пифагора обратная: a2+a2=2a2=(a2)2. Значит, треугольник AB1B2 прямоугольный с гипотенузой B1B2. Следовательно, угол при вершине A равен 90°.
90°
Использован метод координат и геометрическое обоснование через сечение. Ключ совпадает с полученным результатом.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 282 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 282?
Краткий ответ: 90^.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 37. Элементы симметрии правильных многогранников.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.