ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 285: Элементы симметрии правильных многогранников

План решения. Чтобы доказать равенство отрезков, соединяющих центры граней правильного тетраэдра, воспользуемся методом координат или векторов. Однако более наглядным и геометрически строгим способом является рассмотрение симметрии фигуры или вычисление расстояний через свойства правильных треугольников. Мы покажем, что точки центров граней образуют правильный тетраэдр (или его часть), либо просто вычислим длину каждого такого отрезка, опираясь на то, что все грани равны и расположены симметрично относительно центра описанной сферы.

Вычисление и доказательство.

• Пусть ABCD — правильный тетраэдр с ребром a. Обозначим центры его четырёх граней как O_1,O_2,O_3,O₄, где O₁ — центр грани BCD, O₂ — центр грани ACD, O₃ — центр грани ABD, O₄ — центр грани ABC.
• В правильном тетраэдре высота, медиана и биссектриса каждой грани совпадают. Центр грани O_i лежит на высоте соответствующего треугольника на расстоянии 1/3 высоты от стороны основания грани (или 2/3 от вершины).
• Рассмотрим отрезок O₁O₂, соединяющий центры граней BCD и ACD. Эти грани имеют общее ребро CD. Проведём в этих гранях высоты из вершин B и A к общему ребру CD. Пусть M — середина ребра CD. Тогда BMbotCD и AMbotCD. Точки O₁ и O₂ лежат на отрезках BM и AM соответственно.
• Так как O₁ — центроид треугольника BCD, то BO₁=2/3BM, а MO₁=1/3BM. Аналогично для треугольника ACD: AO₂=2/3AM, а MO₂=1/3AM.
• Треугольник ABM является равнобедренным (AB=a, AM=BM=h_face=aroot3brack2/). Рассмотрим треугольник MO₁O₂. Он подобен треугольнику MBA с коэффициентом подобия k=MO₁/MB=1/3.
• Следовательно, длина отрезка O₁O₂ равна 1/3AB=a/3.
• По аналогии, любой другой отрезок, соединяющий центры двух смежных граней (например, O₂O₃, O₃O₄ и т.д.), также будет равен трети длины ребра тетраэдра, так как структура всех пар смежных граней идентична из-за правильности многогранника.

Проверка и вывод.

• Мы получили, что расстояние между центрами любых двух смежных граней равно a/3.
• В тетраэдре каждая грань имеет три смежные грани. Таким образом, каждый центр грани соединён с тремя другими центрами одинаковыми отрезками длиной a/3.
• Это означает, что все шесть отрезков, соединяющих пары центров граней, равны между собой.
• Более того, четыре точки O_1,O_2,O_3,O₄ сами образуют правильный тетраэдр со стороной a/3, который гомотетичен исходному тетраэдру ABCD с центром в центре тяжести тетраэдра и коэффициентом -1/3.
• Утверждение доказано: отрезки, соединяющие центры граней правильного тетраэдра, равны друг другу.