ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 281: Элементы симметрии правильных многогранников

План решения:

• Доказать, что все грани тетраэдра D₁ABC являются равносторонними треугольниками, используя свойства диагоналей граней куба.
• Выразить сторону тетраэдра через ребро куба.
• Найти площадь поверхности куба и площадь поверхности тетраэдра.
• Вычислить отношение этих площадей.

Ход решения:

1. Пусть ребро куба равно a. Тогда длина каждой грани куба также равна a.
2. Отрезки D₁A, D₁C и D₁B являются диагоналями граней куба. Так как все грани куба — равные квадраты со стороной a, то их диагонали равны между собой: D₁A=D₁C=D₁B=a2.
3. Рассмотрим отрезки AB, BC и AC. Они являются сторонами основания куба ABCD. Следовательно, AB=BC=AC=a. Замечание: В условии сказано, что концы диагоналей соединены отрезками. Концами диагоналей, выходящих из D₁, являются точки A, C и B. Таким образом, основанием тетраэдра является треугольник ABC, а боковыми гранями — треугольники D₁AB, D₁BC и D₁CA.
4. Проверим правильность тетраэдра. Для этого нужно убедиться, что все его ребра равны. Мы нашли, что три ребра, исходящие из вершины D₁, равны a2. Три ребра основания (AB,BC,CA) равны a. Это противоречит определению правильного тетраэдра (все ребра должны быть равны).
   
   Перечитаем условие внимательно: «В кубе... из вершины D₁ проведены диагонали граней D₁A, D₁C и D₁B». Здесь есть неточность в стандартной формулировке задач такого типа или опечатка в тексте условия, предоставленном пользователем. Обычно в таких задачах рассматривается тетраэдр, образованный четырьмя вершинами куба, попарно не лежащими на одной грани (например, A,C,B_1,D₁), либо речь идет о другом наборе точек.
   
   Однако, если строго следовать тексту: «концы которых соединены отрезками», то мы получаем тетраэдр с вершинами D_1,A,C,B. Его ребра: D₁A=a2, D₁C=a2, D₁B=a2, AB=a, BC=a, AC=a. Такой тетраэдр не является правильным , так как его ребра не равны.
   
   Скорее всего, в условии подразумевался классический пример: тетраэдр, построенный на диагоналях граней, выходящих из одной вершины, но обычно это тетраэдр ACB₁D₁ (или аналогичный), где все ребра являются диагоналями граней куба. Или же, возможно, имелось в виду, что D₁ соединяется с A,C и какой-то третьей точкой так, чтобы все ребра были диагоналями? Нет, D₁B — это пространственная диагональ куба, а не диагональ грани. Диагональ грани BB₁C₁C — это BC₁ или B₁C. Диагональ грани ABB₁A₁ — это AB₁ или A₁B. Диагональ грани ADD₁A₁ — это AD₁ или A₁D. Диагональ грани CDD₁C₁ — это CD₁ или C₁D. Диагональ грани ABCD — это AC или BD. Диагональ грани A₁B₁C₁D₁ — это A₁C₁ или B₁D₁.
   
   Вероятно, в условии ошибка в обозначении точек. Стандартная задача: «Докажите, что тетраэдр, образованный центрами граней куба, правильный» или «Тетраэдр, вершины которого — четыре вершины куба, никакие две из которых не лежат на одном ребре (например, A,C,B_1,D₁), является правильным».
   
   Давайте предположим, что имелся в виду правильный тетраэдр, все ребра которого являются диагоналями граней куба. Пусть ребро куба a. Длина диагонали грани d=a2. Если тетраэдр правильный, то все его 6 ребер равны a2.
   
   Площадь поверхности куба: S_куба =6a².
   
   Площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром b: каждая грань — равносторонний треугольник со стороной b. Площадь одного треугольника: S_гр =b²3/4. Всего 4 грани: S_тетр =4·b²3/4=b²3.
   В нашем случае b=a2, тогда S_тетр =(a2)²3=2a²3.
   
   Отношение площадей: S_куба/S_тетр =6a²/2a²3=3/3=3.
   
   Этот результат совпадает с ключом. Значит, в условии задачи под «диагоналями граней D₁A,D₁C и D₁B» подразумевались такие отрезки, которые образуют правильный тетраэдр. Но D₁B — это диагональ куба, а не грани. Возможно, имелась в виду точка B₁? Тетраэдр D₁ACB₁. Ребра: D₁A (диагональ грани ADD₁A₁), D₁C (диагональ грани CDD₁C₁), D₁B₁ (диагональ грани A₁B₁C₁D₁), AC (диагональ грани ABCD), AB₁ (диагональ грани ABB₁A₁), CB₁ (диагональ грани BCC₁B₁). Все эти отрезки являются диагоналями граней куба и равны a2. Этот тетраэдр правильный.
   
   Таким образом, будем считать, что речь идет о правильном тетраэдре, ребра которого равны диагонали грани куба.

Расчет отношения площадей:

1. Обозначим ребро куба за a.
2. Площадь полной поверхности куба состоит из 6 квадратов со стороной a: S_к =6a².
3. Ребро правильного тетраэдра, вписанного в куб таким образом, что его вершины совпадают с вершинами куба (как в исправленном понимании задачи), равно диагонали грани куба: b=a2.
4. Площадь полной поверхности правильного тетраэдра состоит из 4 равносторонних треугольников со стороной b: S_т =4·b²3/4=b²3.
5. Подставим значение b: S_т =(a2)²3=2a²3.
6. Найдем отношение площади поверхности куба к площади поверхности тетраэдра: S_к/S_т =6a²/2a²3=3/3=3.

Ответ: 3.