ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 276: Элементы симметрии правильных многогранников

Для решения задачи вспомним определение центра симметрии. Точка O называется центром симметрии фигуры, если для любой точки A этой фигуры существует точка A′, также принадлежащая фигуре, такая что O является серединой отрезка AA′. Иными словами, фигура переходит в себя при повороте на 180^° вокруг точки O.

Рассмотрим каждый случай отдельно:

• а) Параллелепипед. Центр симметрии параллелепипеда находится в точке пересечения его диагоналей. Любая вершина отображается в противоположную вершину относительно этой точки. Следовательно, у параллелепипеда есть ровно один центр симметрии.
• б) Правильная треугольная призма. Основания призмы — равносторонние треугольники. Треугольник не имеет центра симметрии (поворот на 180^° не переводит его в себя). Поскольку основания не совмещаются сами с собой при центральной симметрии, то и вся призма не может иметь центр симметрии. У правильной треугольной призмы нет центра симметрии.
• в) Двугранный угол. Двугранный угол образован двумя полуплоскостями, исходящими из общего ребра. Если мы возьмем точку внутри одной грани, то её образ при центральной симметрии относительно любой точки пространства будет лежать вне исходного угла или в другой области, не совпадающей с самим углом как геометрической фигурой (так как грани направлены в разные стороны от ребра, но не являются продолжениями друг друга через точку). Более строго: двугранный угол не обладает свойством инвариантности относительно поворота на 180^° вокруг какой-либо точки. Поэтому он не имеет центра симметрии.
• г) Отрезок. Середина отрезка является его центром симметрии. Каждая точка отрезка отображается в другую точку того же отрезка относительно середины. У отрезка есть ровно один центр симметрии.

Таким образом, мы определили наличие или отсутствие центров симметрии для всех указанных фигур, опираясь на их геометрические свойства и определение центральной симметрии.