ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 266: Метод координат в пространстве

План решения.

1. Определим геометрическое место вершины пирамиды и её проекцию на основание. 2. Вычислим длину диагонали основания и высоту пирамиды относительно этой диагонали (если потребуется) или координаты точек. 3. Построим сечение, проходящее через диагональ основания параллельно боковому ребру. 4. Найдём площадь полученного треугольного сечения.

Вычисления.

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами a=6 дм и b=8 дм. Диагональ основания равна: d=6²+8²=36+64=100=10 дм .

Так как все боковые рёбра равны, высота пирамиды падает в центр описанной окружности вокруг основания. Для прямоугольника это точка пересечения диагоналей. Пусть O — центр основания, S — вершина пирамиды. Тогда SO=H=2 дм.

Рассмотрим сечение, проведённое через диагональ основания AC параллельно боковому ребру, например, SB. Пусть плоскость сечения пересекает грань SBD по линии, параллельной SB. Однако более простой подход: заметим, что сечение проходит через диагональ основания AC и параллельно ребру SB. Это означает, что третья вершина сечения лежит на прямой, проходящей через точку D (или другую вершину основания?) Нет, давайте разберемся точнее.

Пусть основание ABCD, где AB=CD=6, BC=AD=8. Диагональ AC. Ребро SB. Плоскость сечения проходит через AC и параллельна SB. Эта плоскость пересекает грань SBD? Нет, она должна пересекать какую-то грань или ребро. Поскольку плоскость проходит через AC и параллельна SB, она не может пересекать прямую SB. Она пересечёт плоскость грани SBD по прямой, проходящей через точку пересечения AC и BD (точку O) и параллельной SB. Но точка O лежит на AC. Значит, линия пересечения плоскости сечения с плоскостью SBD проходит через O параллельно SB. Эта линия пересечет ребро SD в некоторой точке M. Так как O — середина BD, а OM∥SB, то по теореме о средней линии треугольника SBD, точка M будет серединой ребра SD.

Таким образом, сечением является треугольник ACM, где M — середина ребра SD.

Найдём стороны треугольника ACM:

• AC=10 дм.
• Найдём AM и CM. Треугольники AMD и CMD симметричны относительно высоты SO? Не совсем, но можно вычислить длины медиан или использовать координаты.

Введём систему координат. Центр O(0,0,0). Вершины основания: A(-3,-4,0), C(3,4,0), B(3,-4,0), D(-3,4,0). (Проверка: AB=(3-(-3))²+(-4-(-4))²=6, BC=(3-3)²+(4-(-4))²=8. Всё верно).

Вершина пирамиды S(0,0,2).

Точка M — середина SD. Координаты D(-3,4,0), S(0,0,2). x_M=-3+0/2=-1.5, y_M=4+0/2=2, z_M=0+2/2=1. Итак, M(-1.5,2,1).

Вычислим длины сторон AM и CM:

AM=(-1.5-(-3))²+(2-(-4))²+(1-0)²=1.5²+6²+1²=2.25+36+1=39.25.

CM=(-1.5-3)²+(2-4)²+(1-0)²=(-4.5)²+(-2)²+1²=20.25+4+1=25.25.

Это выглядит громоздко для площади. Попробуем другой способ нахождения площади треугольника ACM. Основание AC=10. Высота треугольника ACM, опущенная из вершины M на сторону AC.

Уравнение прямой AC в плоскости z=0: проходит через (0,0) и имеет угловой коэффициент k=4/3. Уравнение: 4x-3y=0.

Расстояние от точки M′(-1.5,2) (проекция M на основание) до прямой AC равно: h_proj=|4(-1.5)-3(2)|/4²+(-3)²=|-6-6|/5=12/5=2.4 дм .

Заметим, что M находится на высоте z_M=1 над основанием. Проекция M на основание — точка M′. Расстояние от M до прямой AC (которая лежит в основании) найдём по теореме Пифагора, так как MM′ перпендикулярна основанию, а значит, и прямой AC в пространстве? Нет, MM′ перпендикулярна всей плоскости основания. Прямая AC лежит в плоскости основания. Значит, треугольник MM′H (где H — основание перпендикуляра из M′ на AC) прямоугольный с катетами MM′=1 и M′H=2.4. Гипотенуза MH — это высота треугольника ACM, опущенная на сторону AC.

h_sec=MH=MM′²+M′H²=1²+2.4²=1+5.76=6.76=2.6 дм .

Площадь сечения S_ACM: S=1/2·AC·h_sec=1/2·10·2.6=5·2.6=13 дм² .

Проверка.

Логика построения сечения: плоскость проходит через AC и параллельна SB. В треугольнике SBD проводим линию через середину BD (точку O) параллельно SB. Она пересекает SD в его середине M. Сечение — △ACM. Расчёты расстояний и высот выполнены корректно. Результат совпадает с ключом.