ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 262: Правильная пирамида

План доказательства:

Для того чтобы доказать перпендикулярность двух плоскостей, достаточно найти в одной из них прямую, которая была бы перпендикулярна другой плоскости. В данной задаче нам нужно рассмотреть плоскость, проходящую через высоту пирамиды и апофему (высоту боковой грани), и показать, что она содержит прямую, перпендикулярную плоскости боковой грани.

Ход решения:

1. Пусть SABC — правильная треугольная пирамида с вершиной S. Пусть SO — высота пирамиды, опущенная на центр основания O. Пусть SM — высота боковой грани SBC, проведённая к стороне BC (M — середина BC).
2. Рассмотрим плоскость β, проходящую через прямые SO и SM. Так как SO и SM пересекаются в точке S, они однозначно определяют эту плоскость.
3. Так как пирамида правильная, то основание ABC — правильный многоугольник, а SObotABC. Следовательно, SObotBC (так как BC лежит в плоскости основания).
4. По условию SM — высота боковой грани, значит, SMbotBC.
5. Теперь посмотрим на прямую BC. Она перпендикулярна двум пересекающимся прямым SO и SM, лежащим в плоскости β. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в некоторой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Значит, BCbotβ.
6. Прямая BC лежит в плоскости боковой грани SBC (обозначим её τ). По теореме о перпендикулярных плоскостях: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
7. Так как плоскость τ (боковая грань) проходит через прямую BC, которая перпендикулярна плоскости β (плоскость, содержащая высоту пирамиды и высоту грани), то τbotβ.

Вывод:

Мы доказали, что плоскость, проходящая через высоту пирамиды и высоту боковой грани, перпендикулярна плоскости этой боковой грани.