ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 261: Правильная пирамида

План решения:

Для доказательства того, что скрещивающиеся рёбра в правильной треугольной пирамиде взаимно перпендикулярны, воспользуемся методом векторов или геометрическими свойствами проекций. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду SABC, где основание ABC — правильный треугольник, а вершина S проецируется в центр основания O. Нам нужно доказать, что боковое ребро (например, SA) перпендикулярно противоположному ребру основания (BC).

Вычисление и доказательство:

1. Так как пирамида правильная, то высота SO проходит через центр описанной окружности основания ABC. В правильном треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром тяжести и точкой пересечения медиан.

2. Проведем медиану AM в основании ABC, где M — середина стороны BC. Поскольку треугольник ABC равносторонний, медиана AM является также высотой, то есть AM⊥BC.

3. Рассмотрим плоскость SAM. Эта плоскость содержит высоту пирамиды SO и медиану основания AM. Так как SO — высота пирамиды, то SO⊥ плоскости ABC. Следовательно, SO⊥BC, так как BC лежит в этой плоскости.

4. Теперь у нас есть два факта: BC⊥AM и BC⊥SO. Это означает, что прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым (AM и SO), лежащим в плоскости SAM. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, BC⊥ плоскости SAM.

5. Боковое ребро SA лежит в плоскости SAM. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, BC⊥SA.

Проверка:

Аналогичные рассуждения справедливы для любой пары скрещивающихся рёбер в правильной треугольной пирамиде (ребро основания и противоположное ему боковое ребро). Например, если рассмотреть ребро AC и боковое ребро SB, то аналогично доказывается их перпендикулярность через плоскость, проходящую через высоту пирамиды и медиану к стороне AC. Таким образом, утверждение доказано для всех пар скрещивающихся рёбер.