ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 259: Правильная пирамида

Для решения задачи вспомним свойства правильной четырёхугольной пирамиды. Основанием является квадрат со стороной a=6 см. Угол наклона боковой грани к плоскости основания — это угол между апофемой (высотой боковой грани) и её проекцией на основание.

Проекцией апофемы на основание служит отрезок, соединяющий центр квадрата с серединой его стороны. Длина этого отрезка равна половине стороны основания: d=a/2=6/2=3 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды H, проекцией апофемы d и самой апофемой l. По условию угол между апофемой и основанием равен 60^°. Тогда из определения косинуса угла в прямоугольном треугольнике имеем:

cos(60^°)=d/l

Отсюда находим длину апофемы:

l=d/cos(60^°)=3/1/2=6 см

Теперь найдём боковое ребро b. Боковое ребро, апофема и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник (так как апофема перпендикулярна стороне основания). Гипотенузой этого треугольника является боковое ребро b, а катетами — апофема l и половина стороны основания a/2.

По теореме Пифагора:

b²=l²+(a/2)²

Подставим известные значения (l=6, a/2=3):

b²=6²+3²=36+9=45

Следовательно, боковое ребро равно:

b=45=9·5=35 см