ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 264: Правильная пирамида

План решения.

Для нахождения площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды необходимо определить количество боковых граней и площадь одной грани. В условии сказано, что площадь боковой грани равна площади сечения, проведённого через вершину и большую диагональ основания. Нам нужно выразить площадь этого сечения через сторону основания a, а затем умножить полученное значение на число боковых граней (их 6).

Вычисление.

1. Основание пирамиды — правильный шестиугольник со стороной a. Большая диагональ правильного шестиугольника проходит через центр и соединяет противоположные вершины. Длина такой диагонали равна удвоенной стороне: d=2a.

2. Сечение, проходящее через вершину пирамиды и большую диагональ основания, представляет собой равнобедренный треугольник. Его основанием является большая диагональ d=2a, а высотой служит высота пирамиды H.

3. Площадь боковой грани (S_гр) по условию равна площади сечения (S_сеч). Обозначим эту общую площадь за S₀. Тогда: S₀=S_сеч =1/2×d×H=1/2×2a×H=aH.

4. Чтобы найти конкретное численное значение или выражение для S₀, нам нужно связать высоту пирамиды H и апофему боковой грани l. Рассмотрим одну боковую грань. Это равнобедренный треугольник с основанием a и высотой l (апофема). Его площадь: S_гр =1/2al.

5. Из условия S_гр =S_сеч следует: 1/2al=aH racl2=H⇒l=2H.

6. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды H, апофемой l и отрезком в основании, соединяющим центр шестиугольника с серединой стороны. Этот отрезок равен радиусу вписанной окружности правильного шестиугольника: r=a3/2.

7. По теореме Пифагора для этого треугольника: l²=H²+r². Подставим найденные соотношения l=2H и r=a3/2: (2H)²=H²+(a3/2)² 4H²=H²+3a²/4 3H²=3a²/4 H²=a²/4⇒H=a/2.

8. Найдем площадь одной боковой грани S_гр. Мы знаем, что S_гр =aH. Подставим H=a/2: S_гр =a×a/2=a²/2.

9. Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды равна сумме площадей шести одинаковых боковых граней: S_бок =6×S_гр =6×a²/2=3a².

Проверка.

Проверим логику рассуждений. Если H=a/2, то апофема l=2H=a. Площадь грани 1/2al=1/2a². Площадь сечения 1/2(2a)H=a(a/2)=1/2a². Равенство выполняется. Итоговая площадь 6×1/2a²=3a² совпадает с ключом учебника.