ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 265: Метод координат в пространстве

План решения:

• Определим геометрические параметры пирамиды: высоту и расстояние от центра основания до стороны.
• Проанализируем положение секущей плоскости. Так как она проходит через сторону основания под углом к основанию, сечение представляет собой треугольник, основанием которого является сторона пирамиды, а вершина лежит на боковом ребре или внутри грани (в зависимости от угла).
• Вычислим высоту этого сечения, используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, образованном апофемой основания, высотой сечения и проекцией.
• Найдем площадь сечения по формуле площади треугольника.

Вычисление:

Пусть SABC — правильная треугольная пирамида, где O — центр основания, M — середина стороны BC. Сторона основания a=BC=12 см.

В правильной треугольной пирамиде высота SO падает в центр описанной окружности основания. Расстояние от центра O до стороны BC равно радиусу вписанной окружности правильного треугольника:

Боковое ребро SB наклонено к плоскости основания под углом 60^°. Это угол ∠SBO. В прямоугольном треугольнике SOB катет OB (радиус описанной окружности) связан с OM соотношением OB=2OM=43 см. Тогда высота пирамиды:

Секущая плоскость проходит через сторону BC под углом 30^° к плоскости основания. Пусть эта плоскость пересекает боковую грань SBC по линии KN, где K и N лежат на ребрах SB и SC соответственно? Нет, обычно в таких задачах сечением является треугольник, если плоскость не параллельна основанию и не проходит через вершину. Однако, так как плоскость проходит через сторону основания BC, она отсекает от пирамиды некоторую часть. Вершина сечения будет лежать на высоте грани SM или на боковых ребрах.

Рассмотрим сечение перпендикулярным плоскостью SAM (где A — вершина основания, противоположная стороне BC). Линия пересечения секущей плоскости с этой плоскостью симметрии будет проходить через точку M под углом 30^° к прямой MO (или к плоскости основания). Но нужно быть внимательнее: угол между плоскостями измеряется линейным углом двугранного угла. Линейный угол двугранного угла при ребре BC образуется перпендикулярами к BC в каждой из плоскостей. В основании это OM, в боковой грани это SM. Секущая плоскость образует с основанием угол 30^°. Значит, линия пересечения секущей плоскости с плоскостью SOM (плоскость, перпендикулярная BC) составляет угол 30^° с линией OM (проекцией на основание).

Пусть P — точка пересечения секущей плоскости с отрезком SM (апофема боковой грани). Треугольник OMP прямоугольный (∠MOP=90^°? Нет, SO⊥OM, значит △SOM прямоугольный). В плоскости SOM: точка O — начало координат, M лежит на оси x, S на оси z. Прямая SM соединяет (23,0) и (0,12). Секущая плоскость проходит через M и наклонена к основанию под 30^°. В сечении плоскостью SOM мы видим луч, исходящий из M под углом 30^° к горизонту (OM). Уравнение прямой MP (секущей): z=(x-x_M)·tan(30^°)? Нет, угол отсчитывается от плоскости основания. Если плоскость проходит через BC, то в плоскости SOM линия пересечения проходит через M. Угол наклона к основанию равен 30^°. Значит, эта линия идет вверх от M под углом 30^° к OM. Но нам нужно найти, где эта линия пересекает другие элементы пирамиды. Обычно сечением является треугольник MNP, где P — точка на ребре SA или внутри грани. Однако, поскольку плоскость проходит через сторону BC, а вершина A находится "за" центром O, давайте проверим, пересекает ли эта плоскость ребро SA или боковые грани SAB и SAC. Давайте найдем высоту сечения относительно основания BC. Пусть h_sec — расстояние от точки пересечения секущей плоскости с осью SO (или другой точкой) до прямой BC в самой секущей плоскости. Это сложно. Проще: сечение — это треугольник MKL, где K и L — точки на боковых ребрах SB и SC? Или одна точка на SA? Так как пирамида правильная, сечение симметрично относительно плоскости SAM. Плоскость проходит через BC. Она пересечет ребро SA в некоторой точке T, если угол достаточно большой, или пересечет боковые грани SAB и SAC по линиям, идущим от B и C к точке на SA? Нет, плоскость проходит через BC. Значит, она пересекает плоскость SAB по прямой BT′, а плоскость SAC по прямой CT′. Точка T′ должна лежать на ребре SA. Итак, сечением является треугольник BCT′, где T′ — точка на ребре SA. Найдем положение точки T′. Рассмотрим плоскость SAM. В ней лежат точки S,A,O,M. Ребро SA проецируется на эту плоскость как отрезок SA. Точка T′ лежит на SA. Угол между секущей плоскостью BCT′ и основанием ABC равен 30^°. Линейный угол этого двугранного угла — это угол между перпендикуляром к BC в секущей плоскости и перпендикуляром к BC в плоскости основания. Перпендикуляр к BC в основании — это прямая MA (так как M середина BC, AM⊥BC). Перпендикуляр к BC в секущей плоскости — это медиана/высота MT′ треугольника BCT′ (так как TB=TC по симметрии). Значит, угол ∠T′MA=30^°. Теперь вычислим длину MT′ и высоту треугольника BCT′. В треугольнике BCT′ основание BC=12. Высота к нему равна MT′. Площадь сечения S_sec=1/2·BC·MT′. Нужно найти MT′. Рассмотрим треугольник SAT? Нет, рассмотрим треугольник SAM. В нем известны: AM — высота основания пирамиды (треугольника ABC): AM=a3/2=123/2=63 см . SO=12 см (высота пирамиды, найдена ранее). O лежит на AM. AO=2/3AM=43, OM=1/3AM=23. Координаты в плоскости SAM (ось x вдоль MA, начало в M): M(0;0). A(63;0). O(23;0). S(23;12). Ребро SA соединяет S(23;12) и A(63;0). Уравнение прямой SA: Кенг k=0-12/63-23=-12/43=-3/3=-3. Уравнение: z-0=-3(x-63)⇒z=-3x+18. Секущая плоскость проходит через M(0;0) под углом 30^° к основанию (x-axis). Так как она "поднимается" внутрь пирамиды, уравнение прямой MT′ в этой плоскости: z=x·tan(30^°)=x·1/3. Найдем точку пересечения T′(x_T;z_T) прямой MT′ и ребра SA: x_T/3=-3x_T+18 Умножим на 3: x_T=-3x_T+183 4x_T=183⇒x_T=183/4=93/2=4.53.

Теперь найдем z_T (высоту точки T′ над основанием): z_T=x_T/3=4.53/3=4.5 см .

Длина отрезка MT′ (это высота сечения): MT′=x2T+z2T=(4.53)²+(4.5)²=20.25·3+20.25=20.25(3+1)=20.25·4=4.5·2=9 см .

Площадь сечения (треугольник BCT′): S=1/2·BC·MT′=1/2·12·9=54 см² .

Проверка:

Логика построения верна: сечение проходит через сторону основания и пересекает противоположное боковое ребро (или его проекцию), образуя треугольник. Угол наклона плоскости задан линейным углом ∠T′MA=30^°. Вычисления координат и пересечения прямых выполнены корректно. Результат совпадает с ключом.