10–11 классы Правильная пирамида § 33. Правильная пирамида

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 253: Правильная пирамида

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Артём Савельев, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 252 254 →

Условие

Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и 4\sqrt{6} см и высотой 5 см. Все боковые рёбра равны 13 см. Требуется найти высоту пирамиды.

Трапеция

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Так как все боковые рёбра пирамиды равны между собой (13 см), то вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности около основания. Основанием является равнобедренная трапеция. Для равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность (или около которой можно описать), важно найти радиус этой описанной окружности R. Высота пирамиды H связана с боковым ребром l и радиусом R теоремой Пифагора: H=l²-R². Нам нужно сначала вычислить диагональ трапеции или напрямую найти радиус описанной окружности.

Вычисление.

Рассмотрим основание — равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD=6 см, BC=46 см и высотой h_tr=5 см.

Проведём высоту BH из вершины B к основанию AD. Так как трапеция равнобедренная, отрезок AH равен полуразности оснований:

AH=AD-BC/2=6-46/2=3-26

Заметим, что 46≈4·2.45=9.8, что больше 6. Значит, большее основание BC=46, а меньшее AD=6. Перепишем данные: a=46, b=6. Тогда проекция боковой стороны на большее основание:

x=a-b/2=46-6/2=26-3

Найдём длину боковой стороны трапеции c по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника с катетами x и h_tr:

c²=x²+h2tr=(26-3)²+5² (26-3)²=4·6-126+9=24-126+9=33-126 c²=33-126+25=58-126

Это выражение выглядит сложным для извлечения корня. Попробуем другой путь — через диагональ. В равнобедренной трапеции диагонали равны. Найдём диагональ d. Проекция диагонали на большее основание равна b+x=6+(26-3)=3+26. Или проще: проекция диагонали на основание a равна (a+b)/2? Нет, это верно только если трапеция вписана в окружность с центром на оси симметрии, но проекция диагонали на большое основание равна сумме малого основания и половины разности: b+a-b/2=a+b/2. Проверим:

Проекция диагонали p_d=46+6/2=26+3 d²=p2d+h2tr=(26+3)²+5² (26+3)²=24+126+9=33+126 d²=33+126+25=58+126

Радиус описанной окружности R около трапеции связан со сторонами и диагональю формулой R=abc/4S не подходит напрямую без знания всех сторон. Но для равнобедренной трапеции, вписанной в окружность, справедливо соотношение: произведение диагоналей равно произведению оснований плюс квадрат боковой стороны? Нет. Воспользуемся свойством: центр описанной окружности лежит на оси симметрии. Пусть O — центр, R — радиус. Расстояние от центра до большего основания y₁, до меньшего y₂. y₁+y₂=5 (если центр внутри) или |y₁-y₂|=5.

Уравнения для радиуса R:

R²=(a/2)²+y21=(46/2)²+y21=(26)²+y21=24+y21 R²=(b/2)²+y22=(6/2)²+y22=9+y22

Так как высота трапеции 5, то y₁ и y₂ связаны. Если центр находится между основаниями, то y₁+y₂=5. Если вне, то разность равна 5. Подставим y₂=5-y₁ во второе уравнение:

24+y21=9+(5-y₁)² 24+y21=9+25-10y₁+y21 24=34-10y₁ 10y₁=10⇒y₁=1

Тогда y₂=4. Оба значения положительны, значит, центр действительно между основаниями.

Найдём R²:

R²=24+1²=25⇒R=5 см

Теперь найдём высоту пирамиды H. Боковое ребро l=13 см. Треугольник, образованный высотой пирамиды, радиусом описанной окружности и боковым ребром, прямоугольный:

H=l²-R²=13²-5²=169-25=144=12 см

Проверка.

Проверим корректность нахождения радиуса. Если R=5, то хорда, соответствующая большому основанию 46, должна удовлетворять условию. Половина хорды 26. Расстояние от центра до хорды y₁=1. R²=(26)²+1²=24+1=25. Верно. Для меньшего основания половина хорды 3, расстояние y₂=4. R²=3²+4²=9+16=25. Верно. Сумма расстояний 1+4=5, что равно высоте трапеции. Всё сходится. Вычисление высоты пирамиды: 12²+5²=144+25=169=13². Ответ верен.

Ответ

12 см

Ключевой момент задачи — понимание того, что при равных боковых рёбрах вершина пирамиды проектируется в центр описанной окружности основания. Далее задача сводится к геометрии трапеции: нахождению радиуса описанной окружности через систему уравнений, связывающую расстояния от центра до оснований и их длины.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 253 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 253?

Краткий ответ: 12 см.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 33. Правильная пирамида.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.