ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 252: Правильная пирамида

План решения:

Так как боковые рёбра пирамиды равны (DA=DB=DC), то вершина D проецируется в центр описанной окружности около основания ABC. Обозначим эту точку проекции за O. Тогда отрезок DO является высотой пирамиды. Нам нужно найти радиус описанной окружности R=OA, а затем из прямоугольного треугольника DAO вычислить высоту H=DO по теореме Пифагора.

Вычисление:

1. Найдём стороны основания ABC. Дано: BC=6 см, высота AH=9 см. Так как треугольник равнобедренный (AB=AC), высота AH является медианой, значит, BH=HC=6/2=3 см. Из прямоугольного треугольника ABH найдём боковую сторону AB: AB=AH²+BH²=9²+3²=81+9=90=310 см . Следовательно, AC=310 см.

2. Найдём площадь основания S_ABC: S_ABC=1/2·BC·AH=1/2·6·9=27 см² .

3. Вычислим радиус описанной окружности R около треугольника ABC по формуле: R=abc/4S, где a=BC=6, b=AC=310, c=AB=310. R=6·310·310/4·27=54·10/108=540/108=5 см . Таким образом, OA=5 см.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник DAO (так как DO⊥AO). Гипотенуза DA=13 см, катет AO=R=5 см. Найдём катет DO (высоту пирамиды): DO=DA²-AO²=13²-5²=169-25=144=12 см .

Проверка:

Проверим корректность нахождения радиуса. Центр описанной окружности лежит на высоте AH. Пусть O находится на расстоянии x от основания BC (то есть OH=x). Тогда OA=9-x. В треугольнике OBH: OB²=OH²+BH²=x²+3². Так как OB=OA=R, то (9-x)²=x²+9. Раскрываем скобки: 81-18x+x²=x²+9⇒18x=72⇒x=4. Тогда R=9-4=5 см. Результат совпадает. Высота пирамиды найдена верно через теорему Пифагора для треугольника с гипотенузой 13 и катетом 5.