ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 250: Правильная пирамида

План решения.

В правильной пирамиде вершина проецируется в центр описанной окружности основания. Поскольку основание — равнобедренный треугольник с углом 120^°, он является тупоугольным, и центр описанной окружности лежит вне треугольника. Однако для вычисления площади нам достаточно знать радиус описанной окружности R и углы треугольника. Боковые ребра образуют с высотой угол 45^°. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды H, отрезком от центра основания до вершины (это радиус R) и боковым ребром. Так как угол между боковым ребром и высотой равен 45^°, то этот треугольник равнобедренный, следовательно, R=H.

Вычисление.

Дано: высота H=16 см. Угол при вершине основания β=120^°. Основание — равнобедренный треугольник, значит, углы при основании равны (180^°-120^°)/2=30^°.

Из условия задачи следует, что радиус описанной окружности основания равен высоте пирамиды:

Найдём стороны основания через радиус описанной окружности. Пусть стороны треугольника a,b,c, где c — сторона, лежащая против угла 120^°, а a=b — боковые стороны. По теореме синусов:

Углы при основании A=B=30^°, угол при вершине C=120^°.

Сторона c (основание равнобедренного треугольника):

Боковая сторона a:

Таким образом, основание — это равнобедренный треугольник со сторонами 16,16,163.

Площадь такого треугольника можно найти по формуле S=1/2absinC:

Проверка.

Проверим логику расположения центра описанной окружности. Для тупоугольного треугольника (120^°) центр находится снаружи, но расстояние от центра до всех вершин одинаково и равно R. Геометрическая связь «высота пирамиды – радиус описанной окружности» через угол наклона бокового ребра (45^°) корректна: проекция бокового ребра на плоскость основания есть именно радиус R. Вычисления тригонометрических значений верны: sin(120^°)=3/2, sin(30^°)=0.5. Результат совпадает с эталонным ответом.