ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 246: Правильная пирамида
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Юлия Громова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Высота треугольной пирамиды равна 40 см, высота каждой боковой грани (апотема), проведенная из вершины, равна 41 см.
а) Доказать, что высота проходит через центр вписанной окружности основания.
б) Найти площадь основания, если его периметр равен 42 см.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Для пункта а) используем свойство наклонных и их проекций. Если наклонные (апотемы боковых граней) равны, то равны и их проекции на плоскость основания.
- Проекциями апотем являются отрезки, соединяющие основание высоты пирамиды с сторонами основания. Равенство этих отрезков означает, что точка основания высоты равноудалена от всех сторон треугольника.
- Для пункта б) найдем радиус вписанной окружности из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, апотемой и радиусом вписанной окружности. Затем выразим площадь основания через периметр и радиус.
Вычисление:
а) Пусть S — вершина пирамиды, SO — высота (SO=40 см), опущенная на плоскость основания ABC. Проведем апофемы SM1, SM2, SM3 к сторонам основания BC, AC, AB соответственно. По условию SM1=SM2=SM3=41 см.
Так как SO⊥(ABC), то OM1, OM2, OM3 являются проекциями наклонных SM1, SM2, SM3 на плоскость основания. Поскольку наклонные равны, равны и их проекции: OM1=OM2=OM3.
Отрезки OMi перпендикулярны сторонам основания (по теореме о трех перпендикулярах, так как SMi⊥BC и т.д.). Таким образом, точка O равноудалена от всех сторон треугольника ABC. Это означает, что O является центром окружности, вписанной в основание. Следовательно, высота проходит через центр вписанной окружности.
б) Рассмотрим прямоугольный треугольник SOM1 (где M1 — точка касания вписанной окружности со стороной). Катеты: SO=40 см, гипотенуза SM1=41 см. Второй катет OM1 равен радиусу вписанной окружности r.
r=SM21-SO2=412-402Используем формулу разности квадратов:
r=(41-40)(41+40)=1·81=9 смПлощадь треугольника можно найти по формуле Sосн =p·r, где p — полупериметр, а r — радиус вписанной окружности.
По условию периметр основания P=42 см, значит полупериметр p=42/2=21 см.
Sосн =21·9=189 см²Проверка:
Числа 40, 9, 41 образуют пифагорову тройку (402+92=1600+81=1681=412), что подтверждает правильность нахождения радиуса. Формула площади через полупериметр и радиус вписанной окружности верна для любого треугольника. Результат совпадает с ориентировочным ответом.
а) Доказано
б) 189 см²
Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 246 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 246?
Краткий ответ: а) Доказано; б) 189 см².
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 33. Правильная пирамида.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.