ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 243: Правильная пирамида

План решения.

Дана пирамида DABC, у которой ребро AD перпендикулярно плоскости основания ABC. Это означает, что AD является высотой пирамиды. Боковая поверхность состоит из трёх треугольников: DAB, DAC и DBC. Нам нужно найти площади этих треугольников и сложить их. Так как AD⊥(ABC), то AD⊥AB и AD⊥AC. Следовательно, треугольники DAB и DAC — прямоугольные с катетами AD и соответствующими сторонами основания. Для треугольника DBC нужно найти высоту, опущенную из вершины D на сторону BC.

Вычисления.

1. Рассмотрим треугольник DAB. Он прямоугольный (∠DAB=90^°), так как AD⊥AB. Катеты равны AD=9 см и AB=13 см. S_DAB=1/2·AD·AB=1/2·9·13=117/2=58.5 см²
2. Рассмотрим треугольник DAC. Аналогично, он прямоугольный (∠DAC=90^°), так как AD⊥AC. Катеты равны AD=9 см и AC=13 см. S_DAC=1/2·AD·AC=1/2·9·13=58.5 см²
3. Рассмотрим треугольник DBC. Чтобы найти его площадь, проведём в основании высоту AH к стороне BC. Так как треугольник ABC равнобедренный (AB=AC=13, BC=10), то высота AH также является медианой, значит BH=HC=5 см. По теореме Пифагора найдём AH: AH=AB²-BH²=13²-5²=169-25=144=12 см Теперь применим теорему о трёх перпендикулярах. Поскольку AD⊥(ABC) и AH⊥BC, то наклонная DH также перпендикулярна BC. Значит, DH — это апофема боковой грани DBC. Найдём DH из прямоугольного треугольника DAH (∠DAH=90^°): DH=AD²+AH²=9²+12²=81+144=225=15 см Площадь треугольника DBC: S_DBC=1/2·BC·DH=1/2·10·15=75 см²
4. Найдём полную площадь боковой поверхности: S_бок =S_DAB+S_DAC+S_DBC=58.5+58.5+75=117+75=192 см²

Проверка.

Сумма площадей двух одинаковых прямоугольных граней составляет 117 см². Площадь третьей грани вычислена через апофему, полученную по теореме Пифагора из высоты основания и высоты пирамиды. Числа подобраны так, чтобы получить целые значения для промежуточных величин (AH=12, DH=15), что характерно для учебных задач. Итоговый ответ совпадает с ключом.