ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 239: Правильная пирамида
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Мария Волкова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В основании пирамиды лежит ромб со стороной 5 см и одной из диагоналей 8 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см. Требуется найти длины боковых рёбер.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи необходимо найти длины всех четырёх боковых рёбер пирамиды. Поскольку высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания, вершина пирамиды равноудалена от всех вершин ромба только в том случае, если основание — квадрат или прямоугольник, но здесь у нас ромб. Однако, важно помнить свойство диагоналей ромба: они пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.
Обозначим вершины основания как A,B,C,D, а вершину пирамиды как S. Точку пересечения диагоналей обозначим O. Высота SO=7 см. Диагонали ромба равны d1=8 см и d2 (неизвестна). Сторона ромба a=5 см.
Сначала найдём вторую диагональ ромба. В прямоугольном треугольнике, образованном половиной стороны ромба и половинами диагоналей, по теореме Пифагора имеем:
(d1/2)2+(d2/2)2=a2Подставим известные значения:
42+(d2/2)2=5216+(d2/2)2=25
(d2/2)2=9impliesd2/2=3 см
Таким образом, половины диагоналей равны OA=OC=4 см и OB=OD=3 см (или наоборот, это не влияет на набор длин).
Теперь рассмотрим боковые рёбра. Они являются гипотенузами прямоугольных треугольников SOA,SOB,SOC,SOD, где катеты — это высота SO и соответствующие отрезки диагоналей (OA,OB и т.д.).
Найдём длину ребра SA (и симметричного ему SC):
SA=SO2+OA2=72+42=49+16=65 смНайдём длину ребра SB (и симметричного ему SD):
SB=SO2+OB2=72+32=49+9=58 смИтак, мы получили два различных значения для длин боковых рёбер. Два ребра имеют длину 65 см, а два других — 58 см.
Проверка: сумма квадратов половин диагоналей равна квадрату стороны (16+9=25), что верно для ромба со стороной 5. Расчёты корней выполнены верно.
58 см, 65 см, 65 см, 58 см
В условии ключ содержит три значения, хотя у пирамиды с основанием-ромбом четыре боковых ребра. Из-за симметрии ромба относительно центра, противоположные ребра равны. Ребра, опирающиеся на концы большей диагонали (половина которой 4 см), будут длиннее (65), а ребра, опирающиеся на концы меньшей диагонали (половина которой 3 см), короче (58). Таким образом, полный набор длин: 58,58,65,65. Ключ в учебнике, вероятно, перечисляет уникальные значения или содержит опечатку/сокращение, но математически корректный ответ включает все четыре ребра.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 239 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 239?
Краткий ответ: √58 см, √65 см, √65 см, √58 см.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 33. Правильная пирамида.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.