ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 238: Векторы в пространстве

Для решения задачи о площади боковой поверхности наклонной призмы нам необходимо использовать формулу S_бок =P_перп ·l, где P_перp — периметр сечения призмы плоскостью, перпендикулярной боковым рёбрам, а l — длина бокового ребра.

Рассмотрим поперечное сечение призмы. Так как две боковые грани взаимно перпендикулярны, то угол между соответствующими сторонами этого сечения равен 90^°. Общее ребро этих граней проецируется на сторону сечения, перпендикулярную этому ребру? Нет, давайте разберемся точнее. Пусть боковые ребра параллельны вектору l. Сечение перпендикулярно l. Грани проходят через l. Угол между гранями равен углу между их следами на секущей плоскости. Значит, в сечении мы имеем треугольник, у которого один из углов прямой (так как грани перпендикулярны). Это прямоугольный треугольник.

Даны расстояния от общего ребра до двух других боковых рёбер. В пространстве это расстояния между скрещивающимися прямыми или параллельными прямыми? Боковые рёбра призмы параллельны друг другу. Расстояние между параллельными прямыми равно длине перпендикуляра, опущенного из точки одной прямой на другую. В нашем случае «общее ребро» и «два других боковых ребра» — это три параллельные прямые. Расстояния от одной из них до двух других равны 12 см и 35 см. Поскольку грани, содержащие общее ребро и каждое из других рёбер, взаимно перпендикулярны, то проекции этих расстояний на плоскость сечения образуют катеты прямоугольного треугольника сечения. То есть катеты прямоугольного треугольника сечения равны a=12 см и b=35 см.

Найдем гипотенузу c этого треугольника по теореме Пифагора: c=12²+35²=144+1225=1369=37 см .

Теперь найдем периметр сечения P_перп: P_перп =a+b+c=12+35+37=84 см .

Длина бокового ребра дана в условии: l=24 см.

Вычислим площадь боковой поверхности: S_бок =P_перп ·l=84·24.

Произведем умножение: 84·24=84·(20+4)=1680+336=2016 см² .

Проверка логики: если грани перпендикулярны, то угол между их линиями пересечения с перпендикулярным сечением равен 90 градусов. Расстояния между параллельными рёбрами измеряются по перпендикулярам к ним. Эти перпендикуляры лежат в плоскости сечения. Таким образом, стороны треугольника сечения действительно равны заданным расстояниям. Вычисления верны.