ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 235: Векторы в пространстве

План решения.

1. Обозначим элементы призмы и треугольника основания. Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине C. Угол β=π/2-φ (так как φ — острый угол). Катет AC противолежит углу φ? Нет, по условию: "катет, противолежащий этому углу". Значит, если угол φ находится в вершине B, то противолежащий катет — это AC. Тогда другой катет — BC, а гипотенуза — AB. Вершина, противоположная катету AC, — это вершина B. Сечение проходит через катет AC и вершину B? Но A,B,C лежат в одной плоскости основания. Сечение не может быть плоскостью основания, так как оно составляет угол θ с основанием. Давайте внимательно перечитаем условие: "Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с острым углом φ. Через катет, противолежащий этому углу, и через противоположную этому катету вершину основания проведено сечение..." Пусть треугольник ABC (∠C=90^°). Пусть ∠B=φ. Катет, противолежащий углу φ, — это AC. Противоположная этому катету вершина основания — это вершина B. Но точки A,C,B уже образуют сторону основания. Сечение, проходящее через отрезок AC и точку B, совпадает с плоскостью основания, угол с которым равен 0. Это противоречит условию θ>0. Скорее всего, имеется в виду следующая конфигурация: В основании лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при C. Пусть ∠A=φ. Тогда катет, противолежащий углу φ, — это BC. Противоположная этому катету вершина основания — это вершина A. Опять та же проблема: A,B,C компланарны. Пересмотрим формулировку "противоположную этому катету вершину основания". В треугольнике у каждого катета есть две смежные вершины и одна "противолежащая" сторона? Нет, вершина. Может быть, речь идет о другом основании призмы? "Через катет [нижнего основания] ... и через противоположную этому катету вершину [верхнего] основания"? Или наоборот? Обычно в таких задачах сечение проходит через ребро нижнего основания и вершину верхнего основания. Допустим, сечение проходит через катет a нижнего основания и вершину V верхнего основания, которая проектируется на вершину, противоположную этому катету в нижнем основании. Пусть основание ABC, ∠C=90^°. Пусть ∠B=φ. Катет, противолежащий φ, — это AC=b. Вершина, противоположная катету AC в треугольнике ABC, — это B. Если мы возьмем вершину B₁ верхнего основания, то сечение ACB₁ будет проходить через AC и B₁. Проекцией B₁ на основание является B. Так как CBbotAC (так как ∠C=90^°), то по теореме о трех перпендикулярах CB₁botAC. Линейный угол двугранного угла между сечением ACB₁ и основанием — это угол ∠B₁BC. По условию этот угол равен θ. То есть ∠B₁BC=θ. Проверим логику: "через катет... и через противоположную этому катету вершину основания". Слово "основания" здесь может относиться к верхнему основанию, или подразумевается, что вершина берется из другого основания. Иначе задача тривиальна/невозможна. Будем считать, что сечение проходит через катет нижнего основания и вершину верхнего основания, проекция которой совпадает с третьей вершиной нижнего основания. Итак, модель: Призма ABCA₁B₁C₁. Основание ABC, ∠C=90^°. ∠B=φ. Катет AC противолежит φ. Сечение проходит через AC и вершину B₁. Угол сечения с основанием ∠B₁BC=θ. Найти отношение S_бок /S_сеч. 2. Выразим стороны основания через один параметр, например, через катет AC=b. В △ABC: sinφ=AC/AB→AB=b/sinφ. tgφ=AC/BC→BC=b/tgφ=bctgφ. 3. Найдем высоту призмы H=BB₁. В △B₁BC (∠B₁CB? Нет, ∠B₁BC — линейный угол. Треугольник B₁BC прямоугольный при B, так как боковое ребро BB₁bot основанию). tgθ=BB₁/BC→H=BB₁=BCtgθ=bctgφtgθ. 4. Найдем площадь сечения S_сеч. Сечение — треугольник ACB₁. Так как ACbotBC и ACbotBB₁, то ACbot плоскости BCC₁B₁, значит ACbotCB₁. Треугольник ACB₁ прямоугольный при C. Катет AC=b. Гипотенуза CB₁ является гипотенузой прямоугольного △B₁BC. CB₁=BC/cosθ=bctgφ/cosθ. S_сеч =1/2ACCB₁=1/2bbctgφ/cosθ=b²ctgφ/2cosθ. 5. Найдем площадь боковой поверхности S_бок. S_бок =P_осн H, где P_осн — периметр основания. P_осн =AC+BC+AB=b+bctgφ+b/sinφ=b(1+ctgφ+1/sinφ). Упростим выражение в скобках: 1+cosφ/sinφ+1/sinφ=sinφ+cosφ+1/sinφ. Используем формулы половинного угла: sinφ=2sinφ/2cosφ/2, 1+cosφ=2cos²φ/2. Числитель: 2sinφ/2cosφ/2+2cos²φ/2=2cosφ/2(sinφ/2+cosφ/2). Знаменатель: 2sinφ/2cosφ/2. Отношение: 2cosφ/2(sinφ/2+cosφ/2)/2sinφ/2cosφ/2=sinφ/2+cosφ/2/sinφ/2=1+ctgφ/2. Также можно записать sinφ/2+cosφ/2=2sin(φ/2+π/4)=2cos(π/4-φ/2). Тогда P_осн =b2cos(π/4-φ/2)/sinφ/2. Высота H=bctgφtgθ=bcosφ/sinφtgθ. S_бок =b2cos(π/4-φ/2)/sinφ/2·bcosφ/sinφtgθ=b²2cos(π/4-φ/2)cosφtgθ/sinφ/2sinφ. 6. Отношение k=S_бок/S_сеч. k=b²2cos(π/4-φ/2)cosφtgθ/sinφ/2sinφ/b²ctgφ/2cosθ=2cos(π/4-φ/2)cosφtgθ/sinφ/2sinφ·2cosθ/ctgφ. Заметим, что ctgφ=cosφ/sinφ. Тогда cosφ/ctgφ=sinφ. Подставим: k=2cos(π/4-φ/2)sinφtgθ/sinφ/2sinφ·2cosθ. Сокращаем sinφ: k=22cos(π/4-φ/2)tgθcosθ/sinφ/2. Так как tgθcosθ=sinθ, получаем: k=22cos(π/4-φ/2)sinθ/sinφ/2. Это совпадает с ключом, если учесть, что cos(π/4-φ/2)=cos(φ/2-π/4) (косинус четная функция).