10–11 классы Векторы в пространстве § 2. Векторы в пространстве

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 233: Векторы в пространстве

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Татьяна Белова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 232 234 →

Условие

Основанием прямой призмы ABCA_1B_1C_1 служит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. Через ребро BB_1 проведено сечение BB_1D_1D, перпендикулярное плоскости грани AA_1C_1C. Найти площадь сечения, если AA₁=10 см, AD=27 см, DC=12 см.

Прямоугольный треугольник

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Определим геометрическую природу сечения BB₁D₁D. Так как призма прямая, боковое ребро BB₁ перпендикулярно основанию. Сечение проходит через это ребро и перпендикулярно грани AA₁C₁C. Это означает, что линия пересечения сечения с основанием (отрезок BD) является высотой прямоугольного треугольника ABC, опущенной на гипотенузу AC.
Сечение BB₁D₁D представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте призмы BB₁=AA₁, а другая — длине отрезка BD.
Найдём длину BD, используя свойства прямоугольного треугольника: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу (AB²=AC·AD, BC²=AC·DC), либо через площадь или подобие треугольников. Проще всего найти BD из соотношения BD²=AD·DC для высоты, проведённой к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.
Вычислим площадь сечения как произведение сторон прямоугольника.

Вычисления:

Дано: AA₁=10 см, AD=27 см, DC=12 см. Так как призма прямая, то BB₁=AA₁=10 см.
Рассмотрим основание ABC. Угол B=90^°. Отрезок BD — высота, проведённая к гипотенузе AC, так как сечение перпендикулярно грани ACC₁A₁, а грань содержит линию AC. В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, удовлетворяет свойству: BD²=AD·DC Подставим значения: BD²=27·12=324 Отсюда: BD=324=18 см
Сечение BB₁D₁D — прямоугольник со сторонами BB₁ и BD. Площадь сечения S равна: S=BB₁·BD S=10·18=180 см²

Проверка:

Проверим корректность данных. Гипотенуза AC=AD+DC=27+12=39 см. Катеты можно найти по формулам AB=AC·AD=39·27=1053 и BC=AC·DC=39·12=468. Проверим теорему Пифагора: AB²+BC²=1053+468=1521. Квадрат гипотенузы AC²=39²=1521. Равенство выполняется, значит, треугольник существует и данные согласованы. Площадь сечения вычислена верно.

Ответ

180 см²

Использовано свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе: квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 233 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 233?

Краткий ответ: 180 см².

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Векторы в пространстве.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.