ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 236: Векторы в пространстве

План доказательства.

Нам нужно доказать формулу для площади боковой поверхности наклонной призмы: S_бок =P_сеч ·l, где P_сеч — периметр перпендикулярного сечения, а l — длина бокового ребра. Боковые грани наклонной призмы являются параллелограммами. Площадь каждого такого параллелограмма можно вычислить как произведение его основания (бокового ребра) на высоту, опущенную на это основание. Заметим, что высота параллелограмма, лежащая в плоскости боковой грани и перпендикулярная боковому ребру, является стороной перпендикулярного сечения призмы.

Вычисление и обоснование.

Рассмотрим наклонную призму с боковым ребром длины l. Пусть через какую-либо точку бокового ребра проведено перпендикулярное сечение, стороны которого равны a_1,a_2,…,a_n, где n — количество боковых граней. Периметр этого сечения равен P_сеч =a₁+a₂+…+a_n. Каждая боковая грань призмы — это параллелограмм со сторонами l (боковое ребро) и стороной многоугольника основания. Однако для вычисления площади удобнее использовать другую пару «основание–высота». Возьмем за основание бокового ребро длиной l. Тогда высотой соответствующего параллелограмма будет отрезок, перпендикулярный этому ребру и соединяющий две соседние боковые грани. По определению перпендикулярного сечения, именно эти отрезки (a_i) лежат в плоскости сечения и перпендикулярны боковым ребрам. Следовательно, площадь i-й боковой грани равна: S_i=l·a_i Площадь всей боковой поверхности есть сумма площадей всех боковых граней: S_бок =S₁+S₂+…+S_n=l·a₁+l·a₂+…+l·a_n Вынесем общий множитель l за скобки: S_бок =l·(a₁+a₂+…+a_n) Так как сумма в скобках равна периметру перпендикулярного сечения P_сеч, получаем: S_бок =l·P_сеч

Проверка и вывод.

Логика доказательства опирается на свойства параллелограмма и определение перпендикулярного сечения. В прямом случае (когда призма прямая) перпендикулярное сечение совпадает с основанием, а боковые ребра перпендикулярны сторонам основания, поэтому формула сводится к известной S_бок =P_осн ·h. Для наклонной призмы мы использовали тот факт, что проекция боковой грани на плоскость, перпендикулярную ребру, дает нам сторону сечения, которая служит высотой параллелограмма относительно основания, равного боковому ребру. Таким образом, утверждение доказано: площадь боковой поверхности наклонной призмы действительно равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.