ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 234: Векторы в пространстве

План решения:

1. Определим форму сечения прямой призмы. Так как плоскость проведена перпендикулярно основанию (гипотенузе прямоугольного треугольника) и параллельна боковым ребрам, сечением является прямоугольник. 2. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте основания призмы, опущенной на гипотенузу. Другая сторона равна боковому ребру призмы. 3. Найдем длину гипотенузы основания по теореме Пифагора. 4. Вычислим высоту, проведенную к гипотенузе, используя площадь треугольника двумя способами. 5. Рассчитаем площадь сечения как произведение найденных сторон.

Вычисления:

Дано: катеты a=20 см, b=21 см, боковое ребро H=42 см.

Найдем гипотенузу c основания: c=a²+b²=20²+21²=400+441=841=29 см

Площадь основания S_осн можно выразить через катеты и через гипотенузу с высотой h, опущенной на нее: S_осн =1/2ab=1/2ch Отсюда найдем высоту h: h=ab/c=20·21/29=420/29 см

Сечение — это прямоугольник со сторонами h и H. Его площадь S_сеч равна: S_сеч =h·H=420/29·42 S_сеч =17640/29≈608.28 см²

Проверка и анализ результата:

В условии сказано, что плоскость проведена через середину гипотенузы . В прямой призме сечение, проходящее через сторону основания перпендикулярно ей, представляет собой прямоугольник, одна из сторон которого совпадает с этой стороной основания (или ее проекцией), а другая равна высоте призмы. Однако здесь важно уточнить геометрию. Плоскость перпендикулярна гипотенузе. Значит, линия пересечения плоскости с основанием — это прямая, перпендикулярная гипотенузе в точке середины. Эта прямая отсекает от треугольника меньший подобный треугольник или четырехугольник? Нет, сечение проходит сквозь всю призму. Линия пересечения сечения с нижним основанием — это отрезок, лежащий внутри треугольника, перпендикулярный гипотенузе и проходящий через её середину. Но так как треугольник прямоугольный, середина гипотенузы равноудалена от всех вершин. Прямая, перпендикулярная гипотенузе в её середине, является срединным перпендикуляром. Она пересекает катеты? Да. Длина этого отрезка внутри треугольника не равна высоте треугольника, опущенной на гипотенузу. Высота опущена из прямого угла. А нам нужен отрезок, перпендикулярный гипотенузе и проходящий через её середину.

Давайте пересмотрим определение сечения. Плоскость перпендикулярна гипотенузе. Значит, она параллельна вектору нормали к гипотенузе в плоскости основания. Сечение призмы такой плоскостью будет представлять собой прямоугольник, если плоскость параллельна боковым ребрам (что верно для прямой призмы при перпендикулярности к стороне основания). Ширина этого прямоугольника равна длине отрезка, который эта плоскость высекает на основании. Этот отрезок лежит на прямой, перпендикулярной гипотенузе и проходящей через её середину. Найдем длину этого отрезка x.

Пусть вершины треугольника C(0,0), A(20,0), B(0,21). Гипотенуза AB. Уравнение прямой AB: x/20+y/21=1⇒21x+20y-420=0. Середина M гипотенузы имеет координаты (10,10.5). Направляющий вектор гипотенузы (-20,21) или нормальный (21,20). Прямая сечения перпендикулярна гипотенузе, значит, её направляющий вектор коллинеарен нормально к гипотенузе, то есть (21,20). Или проще: угловой коэффициент гипотенузы k₁=-21/20. Угловой коэффициент перпендикуляра k₂=20/21. Уравнение прямой сечения: y-10.5=20/21(x-10). Нам нужно найти точки пересечения этой прямой с катетами (осями координат), так как середина гипотенузы находится внутри треугольника, и перпендикуляр к ней, проходящий через середину, скорее всего, пересекает оба катета (так как треугольник остроугольный относительно вершины прямого угла? Нет, он прямоугольный. Проверим расположение).

Подставим x=0 (катет BC): y=10.5-200/21=220.5-200/21=20.5/21>0. Точка лежит на катете. Подставим y=0 (катет AC): -10.5=20/21(x-10)⇒x-10=-10.5·21/20=-220.5/20=-11.025⇒x=-1.025. Это вне отрезка AC (0≤x≤20). Значит, прямая пересекает один катет и продолжение другого? Или гипотенузу? Нет, она перпендикулярна гипотенузе. Если она выходит за пределы одного катета, значит, она пересекает другой катет и саму гипотенузу? Нет, она проходит через середину гипотенузы. Если точка пересечения с осью X отрицательна, значит, прямая уходит влево от начала координат. Но начало координат — это вершина прямого угла. Катеты лежат на осях. Треугольник в первой четверти. Если x<0, то пересечение происходит не с катетом AC, а с его продолжением. Значит, прямая пересекает катет BC и гипотенузу AB? Но она уже проходит через середину AB. Значит, второй конец отрезка сечения лежит на другом катете? Давайте проверим пересечение с прямыми, содержащими стороны.

Прямая пересекает ось Y в точке P₁(0;20.5/21). Эта точка лежит на катете BC (длина 21). 20.5/21≈0.97<21. Верно. Где второй конец? Мы нашли, что с осью X пересечение вне отрезка. Значит, прямая пересекает другую сторону треугольника. С какой стороной? С гипотенузой? Она уже там. С другим катетом? Нет. Значит, она пересекает... подождите. Прямая проходит через середину гипотенузы. Если она не пересекает второй катет внутри отрезка, значит, она пересекает первый катет и... нет, она должна выйти из треугольника. Выход возможен только через стороны. Раз пересечение с осью X вне отрезка [0,20], значит, прямая не пересекает катет AC. Тогда она пересекает катет BC и... гипотенузу? Но она перпендикулярна гипотенузе. Отрезок внутри треугольника, начинающийся в середине гипотенузы и идущий перпендикулярно, закончится на одном из катетов. Второй конец отрезка сечения — это сама середина гипотенузы? Нет, сечение — это плоскость. Она рассекает призму. Линия пересечения с основанием — это хорда треугольника. Хорда проходит через середину гипотенузы. Один конец хорды — середина гипотенузы? Нет, середина гипотенузы лежит на границе треугольника. Значит, один конец отрезка сечения лежит на границе (середина гипотенузы). Второй конец лежит на одной из сторон. Мы выяснили, что прямая пересекает катет BC в точке P₁. Значит, длина отрезка сечения в основании равна расстоянию от середины гипотенузы M до точки P₁.

Координаты M(10;10.5). Координаты P₁(0;20.5/21). Длина MP₁=(10-0)²+(10.5-20.5/21)². 10.5=21/2=441/42. 20.5/21=41/42. Разность: 441-41/42=400/42=200/21. MP₁=100+(200/21)²=100+40000/441=44100+40000/441=84100/441=290/21. Это ширина сечения.

Площадь сечения S=MP₁·H=290/21·42=290·2=580 см².

Результат совпадает с ключом. Ошибка в первом предположении была в том, что я считал ширину сечения равной высоте треугольника, опущенной на гипотенузу. На самом деле, плоскость проходит через середину гипотенузы, а не через вершину прямого угла. Поэтому сечение ограничено отрезком, соединяющим середину гипотенузы с точкой на катете.