ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 242: Правильная пирамида

План решения.

Обозначим пирамиду как SABCD, где основание ABCD — квадрат со стороной a. По условию ребро SA перпендикулярно плоскости основания, значит, SA является высотой пирамиды (H=SA). Боковые грани SAB и SAD перпендикулярны основанию. Плоскость боковой грани SBC (или SCD) наклонена к основанию под углом 45^o. Линейным двугранным углом между гранью SBC и основанием является угол β=angleSBA? Нет, нужно найти проекцию. Так как SAbotABCD, то проекцией SB на основание является AB. Но нам нужна линия пересечения плоскостей. Проведем анализ наклона грани SBC. Ребро BC перпендикулярно AB (так как ABCD квадрат) и перпендикулярно SA (так как SAbot основанию). Следовательно, BCbot плоскости SAB, а значит, BCbotSB. Угол между плоскостью SBC и основанием равен углу между перпендикулярами к линии пересечения BC. В плоскости основания это AB, в плоскости грани это SB. Значит, линейный угол двугранного угла при ребре BC равен angleSBA. Из прямоугольного треугольника SAB (angleSAB=90^o), если угол наклона грани SBC к основанию равен 45^o, то angleSBA=45^o. Это означает, что треугольник SAB равнобедренный, откуда SA=AB=a. Аналогично для грани SCD: угол наклона также 45^o, так как симметрия сохраняется относительно высоты SA? Проверим грань SCD. Проекция SD на основание — AD. CDbotAD и CDbotSA→CDbotSD. Угол наклона грани SCD к основанию — угол angleSDA. Треугольник SAD прямоугольный с катетами SA=a,AD=a, значит angleSDA=45^o. Таким образом, обе грани, не проходящие через высоту (в смысле, не являющиеся перпендикулярными основанию напрямую через ребро высоты, хотя здесь все зависит от формулировки "не проходящей через высоту" обычно означает грани, которые не содержат ребро высоты, но имеют наклон; или же имеется в виду одна из наклонных граней). В условии сказано: "Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту...". Грани SAB и SAD содержат ребро высоты SA. Грани SBC и SCD не содержат ребро SA. Для них угол наклона 45^o. Мы выяснили, что это приводит к H=a. Теперь найдем наибольшее боковое ребро. Боковые ребра: SA=H=a, SB=sqrt(a²+a²)=asqrt(2), SD=asqrt(2), SC=sqrt(SA²+AC²)=sqrt(a²+(asqrt(2))²)=sqrt(3a²)=asqrt(3). Наибольшее ребро — SC. По условию SC=12 см. Вычисление. а) Найдем высоту H. Из соотношения SC=asqrt(3)=12 выразим сторону основания a: a=12/sqrt(3)=4sqrt(3) см. Так как мы установили, что высота H=SA=a, то: H=4sqrt(3) см. б) Найдем площадь боковой поверхности S_бок. Боковая поверхность состоит из четырех треугольников: SAB,SAD,SBC,SCD. 1. Треугольники SAB и SAD — прямоугольные равнобедренные с катетами a. S_SAB=S_SAD=1/2cdotacdota=a²/2. 2. Треугольники SBC и SCD — прямоугольные (так как BCbotSB и CDbotSD). Катеты: BC=a, SB=asqrt(2). S_SBC=S_SCD=1/2cdotBCcdotSB=1/2cdotacdotasqrt(2)=a²sqrt(2)/2. Суммарная площадь: S_бок =2cdota²/2+2cdota²sqrt(2)/2=a²+a²sqrt(2)=a²(1+sqrt(2)). Подставим значение a=4sqrt(3): a²=(4sqrt(3))²=16cdot3=48.
S_бок =48(1+sqrt(2)) см². Проверка. Проверим логику определения наибольшего ребра. SA=a, SB=asqrt(2)approx1.41a, SC=asqrt(3)approx1.73a. Действительно, SC максимально. Угол наклона грани SBC: тангенс угла равен отношению высоты пирамиды к расстоянию от проекции вершины до ребра основания? Нет, для грани SBC проекция высоты SA на плоскость основания — точка A. Расстояние от A до прямой BC равно стороне квадрата AB=a. Тогда tg(angle)=SA/AB=a/a=1, угол 45^o. Все сходится.