ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 245: Правильная пирамида

План решения.

1. Определим геометрию пирамиды: так как две боковые грани перпендикулярны основанию, вершина пирамиды проецируется в одну из вершин прямоугольного основания. Пусть основание ABCD — прямоугольник, а вершина S находится над вершиной A. Тогда ребро SA перпендикулярно плоскости основания (SA⊥ABCD).

2. Выразим стороны основания и высоту через диагональ и заданные углы наклона боковых граней.

3. Найдем площади всех граней (одной общей высоты для двух пар граней) и сложим их для получения полной площади поверхности.

Вычисление.

Пусть AB=a, AD=b. Диагональ основания AC=BD=d=8 см. Из теоремы Пифагора для основания:

Рассмотрим боковые грани. Грани SAB и SAD перпендикулярны основанию, так как содержат ребро SA, перпендикулярное основанию. Это значит, что треугольники SAB и SAD — прямоугольные с прямым углом при вершине A.

Две другие грани — SBC и SDC. Так как SA⊥ABCD, то по теореме о трех перпендикулярах:

• SB⊥BC (так как AB⊥BC), значит, угол между гранью SBC и основанием равен углу ∠SBA? Нет, линейный угол двугранного угла при ребре BC — это угол ∠SBA только если смотреть на проекцию. Давайте аккуратно. Линейный угол двугранного угла при ребре BC: так как SA⊥ пл., то AB — проекция SB на пл. Основание. AB⊥BC. Значит, SB⊥BC. Линейный угол наклона грани SBC к основанию — это угол ∠SBA? Нет, это угол между SB и её проекцией AB. То есть ∠SBA. Но в условии сказано, что грани образуют углы с основанием. Обычно под этим понимают угол наклона плоскости грани к плоскости основания. Для грани SBC этот угол равен ∠SBA? Проверим. Плоскость SBC проходит через SB и BC. Перпендикуляр к линии пересечения BC в плоскости основания — это AB. Перпендикуляр к BC в плоскости грани — это SB. Значит, искомый угол действительно ∠SBA. Аналогично для грани SDC угол наклона равен ∠SAD.

Однако, стандартная задача такого типа обычно подразумевает, что углы даны для граней, не содержащих высоту. Давайте перепроверим формулировку "две другие образуют с ним углы". Если SA⊥ основанию, то грани SAB и SAD перпендикулярны основанию (угол 90). Остальные две грани SBC и SDC наклонены. Угол наклона грани SBC к основанию равен углу ∠SBA? Нет. В треугольнике SAB угол при B не является углом наклона плоскости. Угол наклона плоскости SBC к плоскости ABC определяется линией пересечения BC. Проведем перпендикуляр к BC в основании — это AB. Проведем перпендикуляр к BC в грани SBC — это SB (т.к. SB⊥BC по т. о 3 перп.). Значит, линейный угол — это ∠SBA. Да, верно. Аналогично, для грани SDC линейный угол — это ∠SAD.

Итак, у нас есть два угла: 30^° и 45^°. Не важно, какой где, но они соответствуют сторонам a и b. В △SAB: tan(∠SBA)=SA/AB=h/a. В △SAD: tan(∠SAD)=SA/AD=h/b. Пусть ∠SBA=45^°, тогда h=a·tan45^°=a. Пусть ∠SAD=30^°, тогда h=b·tan30^°=b/3. Отсюда a=b/3⇒b=a3. Подставим в уравнение диагонали: a²+(a3)²=64 a²+3a²=64 4a²=64⇒a²=16⇒a=4 см . Тогда b=43 см. Высота h=a=4 см. Проверим другой вариант (если бы углы были наоборот): результат симметричен относительно a и b, площадь будет та же. Теперь найдем площади граней. 1. Основание ABCD: S_base=ab=4·43=163 см². 2. Грань SAB (прямоугольная): S₁=1/2·AB·SA=1/2·4·4=8 см². 3. Грань SAD (прямоугольная): S₂=1/2·AD·SA=1/2·43·4=83 см². 4. Грань SBC: это прямоугольный треугольник с катетами BC=b=43 и гипотенузой... нет, катеты BC и SB. Нам нужно найти SB. В △SAB: SB=SA²+AB²=4²+4²=42. Или проще: S_SBC=1/2·BC·SB? Нет, SB⊥BC. Значит, катеты SB и BC. S₃=1/2·43·42=86 см². *Альтернативный расчет:* Высота грани SBC опущена на BC? Нет, мы уже знаем, что SB⊥BC. Площадь равна половине произведения катетов. 5. Грань SDC: аналогично, SD⊥DC. Катеты DC=a=4 и SD. В △SAD: SD=SA²+AD²=4²+(43)²=16+48=64=8. Или через синус: SD=h/sin30=4/0.5=8. S₄=1/2·DC·SD=1/2·4·8=16 см². Суммируем площади: S_total=S_base+S₁+S₂+S₃+S₄ S_total=163+8+83+86+16 Группируем слагаемые: Числа без корней: 8+16=24. Корни с 3: 163+83=243. Корень с 6: 86. S_total=24+243+86 Вынесем общий множитель 8: S_total=8(3+33+6) см².

Проверка.

Размерности совпадают (см²). Логика расположения вершины над углом основания корректна для условия "две грани перпендикулярны основанию". Расчеты тригонометрических соотношений и площадей треугольников выполнены верно. Результат совпадает с эталонным ответом.