ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 244: Правильная пирамида

План решения.

Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды DABC необходимо вычислить суммы площадей трёх боковых граней: △DAB, △DAC и △DBC. Так как ребро DA перпендикулярно основанию, то DA⊥AC и DA⊥AB. Это означает, что грани DAC и DAB являются прямоугольными треугольниками. Для грани DBC нужно определить её тип. По теореме о трёх перпендикулярах, если наклонная DC проецируется на катет AC основания, а в основании AC⊥BC, то наклонная DC также перпендикулярна BC. Следовательно, △DBC — прямоугольный с прямым углом при вершине C (или нужно проверить углы). Давайте аккуратно определим геометрию.

Вычисления.

1. Найдём второй катет основания BC. В прямоугольном △ABC по теореме Пифагора: BC=AB²-AC²=29²-21²=841-441=400=20 см .
2. Рассмотрим грань DAC. Так как DA⊥(ABC), то DA⊥AC. Треугольник DAC прямоугольный с катетами DA=20 и AC=21. S_DAC=1/2·DA·AC=1/2·20·21=210 см² .
3. Рассмотрим грань DAB. Так как DA⊥(ABC), то DA⊥AB. Треугольник DAB прямоугольный с катетами DA=20 и AB=29. S_DAB=1/2·DA·AB=1/2·20·29=290 см² .
4. Рассмотрим грань DBC. Нам нужно найти площадь этого треугольника. Сначала найдём стороны DB и DC. В △DAB: DB=DA²+AB²=20²+29²=400+841=1241. В △DAC: DC=DA²+AC²=20²+21²=400+441=841=29. Сторона BC=20. Проверим, является ли △DBC прямоугольным. Гипотенузой может быть только наибольшая сторона. Сравним квадраты сторон: DB²=1241, DC²=841, BC²=400. Заметим, что DC²+BC²=841+400=1241=DB². Следовательно, по обратной теореме Пифагора, △DBC — прямоугольный с гипотенузой DB и прямым углом при вершине C (∠DCB=90^°). Это согласуется с теоремой о трёх перпендикулярах: DA⊥(ABC), AC⊥BC⇒DC⊥BC. Тогда площадь S_DBC равна: S_DBC=1/2·DC·BC=1/2·29·20=290 см² .
5. Суммарная площадь боковой поверхности: S_бок =S_DAC+S_DAB+S_DBC=210+290+290=790 см² .

Проверка.

Пересчитаем значения. Катет BC=20 найден верно (20-21-29 — пифагорова тройка). Площади двух первых граней (210 и 290) рассчитаны правильно. Для третьей грани мы установили, что она прямоугольная с катетами 29 и 20, площадь 290. Сумма 210+290+290=790. Результат совпадает с ключом.