ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 247: Правильная пирамида

План решения.

Для доказательства утверждений а), б) и в) воспользуемся свойствами двугранных углов при основании пирамиды. Пусть SABC... — данная пирамида с вершиной S, основанием A₁A_2...A_n и высотой SO, где O — проекция вершины на плоскость основания. Двугранный угол при ребре основания образован боковой гранью и плоскостью основания. Линейным углом этого двугранного угла является угол между апофемой боковой грани (высотой грани, проведённой из вершины S к ребру основания) и отрезком, соединяющим точку O с точкой касания или серединой ребра (если основание многоугольник). Обозначим апофему как h_b, а расстояние от точки O до стороны основания как d_i. Тогда тангенс линейного угла двугранного угла равен tanβ=SO/d_i.

Доказательство пункта а).

По условию все двугранные углы при основании равны: β₁=β₂=...=β_n=β. Так как высота SO общая для всех граней, то из соотношения tanβ=SO/d_i следует, что расстояния d_i от точки O до всех сторон основания равны между собой: d₁=d₂=...=d_n=r. Точка, равноудалённая от всех сторон многоугольника, является центром вписанной в него окружности. Следовательно, высота пирамиды проходит через центр вписанной окружности основания. Что и требовалось доказать.

Доказательство пункта б).

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотой пирамиды SO, отрезками d_i и апофемами h_b,i. По теореме Пифагора квадрат апофемы равен сумме квадратов катетов: h2b,i=SO²+d2i. Из пункта а) мы знаем, что d_i=r (константа) для всех i. Поскольку SO также константа, то h2b,i=SO²+r² не зависит от номера грани. Значит, все апофемы (высоты боковых граней) равны: h_b,1=h_b,2=...=h_b,n=h_b. Что и требовалось доказать.

Доказательство пункта в).

Площадь боковой поверхности пирамиды складывается из площадей всех боковых граней. Каждая боковая грань — это треугольник с основанием a_i (сторона основания пирамиды) и высотой h_b (апофема). Площадь одной грани равна S_i=1/2a_ih_b. Общая площадь боковой поверхности:

Вынесем общий множитель 1/2h_b за скобки:

Сумма длин всех сторон основания (a₁+a₂+...+a_n) есть периметр основания P. Таким образом, получаем формулу:

Это доказывает, что площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани (апофему). Что и требовалось доказать.