ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 249: Правильная пирамида

План решения.

Для доказательства обоих утверждений нам потребуется рассмотреть проекцию вершины пирамиды на плоскость основания. Обозначим вершину пирамиды как S, а основание — многоугольник A₁A₂…A_n. Пусть H — точка пересечения высоты SH с плоскостью основания. Так как все боковые ребра равны (SA₁=SA₂=…=SA_n), то прямоугольные треугольники SHA_1,SHA_2,…,SHAn имеют общий катет SH и равные гипотенузы. Это ключевой момент для вывода равенства отрезков в основании.

Доказательство пункта а).

Рассмотрим прямоугольные треугольники △SHA_i (где i=1,…,n). В каждом из них угол при вершине H прямой, так как SH — высота пирамиды. По условию задачи все боковые ребра равны между собой, то есть SA₁=SA₂=…=SA_n=l. Катет SH является общим для всех этих треугольников. По теореме Пифагора квадрат другого катета равен разности квадратов гипотенузы и известного катета: HA2i=SA2i-SH²=l²-SH². Так как правая часть выражения одинакова для всех i, то и левые части равны: HA₁=HA₂=…=HA_n. Это означает, что точки A_1,A_2,…,A_n равноудалены от точки H. По определению, центр описанной окружности многоугольника — это единственная точка, равноудаленная от всех его вершин. Следовательно, точка H совпадает с центром описанной окружности основания. Что и требовалось доказать.

Доказательство пункта б).

Углом между прямой (боковым ребром) и плоскостью (основанием) называется угол между этой прямой и её ортогональной проекцией на данную плоскость. Проекцией бокового ребра SA_i на плоскость основания является отрезок HA_i (так как H — проекция вершины S). Следовательно, искомый угол — это ∠SA_iH. Вернемся к рассмотренным выше прямоугольным треугольникам △SHA_i. Мы уже установили, что они равны по двум сторонам (катету SH и гипотенузе SA_i). В равных треугольниках соответствующие углы равны. Поэтому: ∠SA₁H=∠SA₂H=…=∠SAnH. Таким образом, все боковые ребра составляют с плоскостью основания равные углы. Что и требовалось доказать.