ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 551: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Мария Волкова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В шар вписан конус, радиус основания которого равен r, а высота равна H. Найдите площадь поверхности и объём шара.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Чтобы найти площадь поверхности и объём шара, необходимо определить его радиус R. Конус вписан в шар, значит, вершина конуса и окружность основания лежат на сфере. Рассмотрим осевое сечение этой фигуры: это равнобедренный треугольник с основанием 2r и высотой H, вписанный в окружность радиуса R. Центр шара лежит на высоте конуса (или её продолжении). Используя свойства прямоугольного треугольника, образованного центром шара, серединой основания конуса и точкой на окружности основания, выразим R через заданные величины r и H.
Вычисление.
| Пусть O — центр шара, S — вершина конуса, A — точка на окружности основания конуса, M — центр основания конуса. Тогда SM=H, AM=r. Расстояние от центра шара до плоскости основания конуса равно | R - H | или | H - R | , в зависимости от того, где находится центр относительно основания. Однако более универсальный способ — использовать формулу для радиуса описанной окружности вокруг треугольника или свойство хорд. |
|---|---|---|---|---|
| Рассмотрим прямоугольный треугольник OMA, где OM — расстояние от центра шара до основания конуса. Если предположить, что центр шара находится внутри высоты конуса (что верно при острых углах при основании), то OM=|H-R|. По теореме Пифагора для △OMA: OA2=OM2+AM2 R2=(H-R)2+r2 | ||||
| Раскроем скобки: R2=H2-2HR+R2+r2 | ||||
| Сократим R2 с обеих сторон и выразим R: 0=H2-2HR+r2 2HR=H2+r2 R=H2+r2/2H |
Теперь найдём площадь поверхности шара Sш по формуле Sш =4πR2: Sш =4π(H2+r2/2H)2=4π(H2+r2)2/4H2=π(H2+r2)2/H2
Далее найдём объём шара Vш по формуле Vш =4/3πR3: Vш =4/3π(H2+r2/2H)3=4/3π(H2+r2)3/8H3=π(H2+r2)3/6H3
Проверка.
Полученные выражения совпадают с эталонным ответом: площадь π/H2(H2+r2)2 и объём π/6H3(H2+r2)3. Размерности также корректны: площадь имеет размерность длины в квадрате (L2/L2·L4=L2), а объём — куба длины (L4/L3·L3=L3).
π(H2+r2)2/H2; π(H2+r2)3/6H3
Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 551 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 551?
Краткий ответ: (H^2+r^2)^2H^2; (H^2+r^2)^36H^3.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.