ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 552: Объём шара и площадь сферы

План решения.

1. Определим положение центра шара и радиуса R относительно основания пирамиды. 2. Используя свойства прямоугольного треугольника в основании, найдём расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания (высоту H). 3. Через угол наклона боковых рёбер β выразим радиус шара R. 4. Вычислим площадь поверхности сферы S=4πR² и объём шара V=4/3πR³.

Вычисления.

Так как основание пирамиды — прямоугольный треугольник с гипотенузой c=2 см, то центр описанной окружности этого треугольника лежит на середине гипотенузы. Радиус этой окружности равен половине гипотенузы: r_base=2/2=1 см.

Центр шара O лежит на прямой, проходящей через центр описанной окружности основания перпендикулярно к нему. Пусть M — середина гипотенузы, а S — вершина пирамиды. Тогда SM — высота пирамиды H, так как все боковые рёбра равны между собой (следствие того, что они составляют одинаковый угол с основанием и опираются на одну точку M).

Рассмотрим прямоугольный треугольник SMA, где A — один из острых углов основания. Угол SAM не является углом наклона ребра. Угол наклона бокового ребра к основанию — это угол между ребром и его проекцией на основание. Проекция ребра SA на основание есть отрезок MA. Значит, угол ∠SMA не подходит, нужно смотреть на треугольник, образованный высотой SM, проекцией MA и ребром SA. Но по условию угол составляет каждое боковое ребро. Это значит, что вершина S проектируется в центр описанной окружности основания M. Следовательно, проекция любого бокового ребра (например, SA) на плоскость основания есть отрезок MA. Угол между ребром SA и основанием равен ∠SAM? Нет, угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией. Проекция SA — это MA. Значит, угол наклона равен ∠SMA? Нет, в треугольнике SMA (∠M=90^°), угол при A — это угол между ребром и проекцией? Да, если мы рассматриваем треугольник SMA, то SM⊥MA. Угол наклона ребра SA к плоскости основания — это угол ∠SAM? Нет, это угол между SA и MA. В прямоугольном треугольнике SMA катет SM — высота, катет MA — проекция. Гипотенуза SA — ребро. Угол наклона α находится при вершине A? Нет, обычно угол наклона измеряется от горизонтальной плоскости. Если MA лежит в плоскости, то угол между SA и MA — это угол ∠SAM? Да. Однако, давайте проверим геометрию. Центр шара O лежит на высоте SM. Пусть SO=R. Расстояние от O до любой вершины равно R. Рассмотрим треугольник OMA (в плоскости основания). OM — часть высоты? Нет, O лежит на прямой SM. Пусть x — расстояние от центра шара O до плоскости основания. Тогда R²=r2base+x²=1²+x². Также R=H-x или R=H+x в зависимости от положения. Обычно для вписанной пирамиды центр может быть внутри или снаружи. Высота H=SM. Из треугольника SMA: tanα=SM/MA=H/1⇒H=tanα. Здесь MA=r_base=1.

Теперь найдем R. Центр шара O лежит на высоте SM. Пусть O удален от основания на расстояние d. Тогда R²=1²+d². Также расстояние от O до вершины S равно R. Координата S равна H. Координата O равна d (если считать от основания вверх). Тогда |H-d|=R. Подставим R=1+d²: (H-d)²=1+d²⇒H²-2Hd+d²=1+d²⇒H²-1=2Hd⇒d=H²-1/2H.

Радиус шара R=H-d=H-H²-1/2H=2H²-H²+1/2H=H²+1/2H.

Подставим H=tanα:

Теперь вычислим площадь поверхности шара:

И объём шара:

Проверка.

Если α=45^°, то sin2α=sin90^°=1. Тогда R=1. Основание — прямоугольный треугольник с гипотенузой 2, радиус описанной окружности 1. Если R=1, то центр шара совпадает с центром основания (d=0), тогда высота H=R=1. Проверим угол: tanα=H/r_}base=1/1=1⇒α=45^°. Формулы дают S=4π, V=4π/3. Это соответствует шару радиуса 1. Ответ согласуется с ключом.