ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 549: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Анна Соколова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В сферу радиуса R вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого составляет с основанием угол α. Найдите объём цилиндра.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для нахождения объёма цилиндра необходимо выразить его радиус r и высоту h через радиус сферы R и заданный угол α. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, вписанный в окружность большого круга сферы. Диагональ этого прямоугольника является диаметром сферы, то есть равна 2R. Угол между диагональю и основанием (стороной длиной 2r) равен α. Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, высотой и диаметром основания, найдём стороны цилиндра. Затем подставим найденные значения в формулу объёма цилиндра V=πr2h.
Вычисление.
Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Это прямоугольник со сторонами 2r (диаметр основания) и h (высота). Диагональ этого прямоугольника проходит через центр сферы и равна её диаметру: d=2R. По условию, диагональ составляет с основанием угол α. В прямоугольном треугольнике, катетами которого являются диаметр основания 2r и высота h, а гипотенузой — диагональ 2R, имеем следующие соотношения:
- Прилежащий катет (диаметр основания): 2r=2R· сос(α), откуда r=R· сос(α).
- Противолежащий катет (высота): h=2R· син(α).
Теперь подставим выражения для r и h в формулу объёма цилиндра:
V=πr2h V=π(R· сос(α))2·(2R· син(α)) V=πR2 сос2(α)·2R син(α) V=2πR3 син(α) сос2(α)Преобразуем полученное выражение, используя формулу синуса двойного угла син(2α)=2 син(α) сос(α). Для этого выделим множитель сос(α) отдельно:
V=πR3·[2 син(α) сос(α)]· сос(α) V=πR3 син(2α) сос(α)Проверка.
Проверим размерность ответа. Объём должен измеряться в кубических единицах длины (L3). В выражении πR3 син(2α) сос(α) множитель R3 даёт L3, а тригонометрические функции безразмерны. Размерность совпадает. Проверим предельные случаи: 1. Если α→0, то цилиндр вырождается в плоский диск (высота стремится к 0). син(0)=0, объём равен 0. Верно. 2. Если α→90°, то цилиндр вырождается в отрезок (радиус основания стремится к 0). сос(90°)=0, объём равен 0. Верно. 3. Максимальный объём достигается при некотором промежуточном угле. Функция f(α)= син(2α)сос(α) имеет максимум, что физически соответствует оптимальным размерам вписанного цилиндра. Ответ согласуется с ключом.
πR3sin2αcosα
Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 549 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 549?
Краткий ответ: R^3 2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.