ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 546: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для нахождения отношения объёмов необходимо выразить объём усечённого конуса и объём вписанного шара через радиусы оснований r и r₁. Ключевым элементом является осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренную трапецию. Шар, вписанный в конус, касается его боковых сторон и оснований. В осевом сечении это соответствует окружности, вписанной в трапецию. Диаметр этой окружности равен высоте конуса h, а радиус шара R=h/2. Используя свойства касательных к окружности или теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, разностью радиусов и образующей, найдём связь между h, r и r₁.

Вычисление.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса — равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD=2r₁ и BC=2r (пусть r₁>r). Высота трапеции равна диаметру шара: h=2R. Так как шар вписан в конус, сумма длин противоположных сторон трапеции равна сумме длин других двух сторон? Нет, это верно для описанного около окружности четырёхугольника. Трапеция, около которой можно описать окружность (в которую вписан шар), обладает свойством: сумма оснований равна сумме боковых сторон. AD+BC=AB+CD 2r₁+2r=2limpliesl=r₁+r где l — длина образующей конуса. Теперь выразим высоту h из прямоугольного треугольника, образованного высотой, отрезком на большем основании, равным (r₁-r), и гипотенузой l: h²=l²-(r₁-r)² Подставим l=r₁+r: h²=(r₁+r)²-(r₁-r)² Используем формулу разности квадратов или раскроем скобки: h²=(r21+2r₁r+r²)-(r21-2r₁r+r²)=4r₁r Отсюда высота конуса: h=4r₁r=2r₁r Радиус вписанного шара R равен половине высоты: R=h/2=r₁r Найдём объём шара V_ш: V_ш =4/3πR³=4/3π(r₁r)³=4/3πr₁rr₁r Найдём объём усечённого конуса V_к по формуле: V_к =1/3πh(r²+rr₁+r21) Подставим найденное значение h=2r₁r: V_к =1/3π(2r₁r)(r²+rr₁+r21)=2/3πr₁r(r²+rr₁+r21) Искомое отношение объёмов: V_к/V_ш =2/3πr₁r(r²+rr₁+r21)/4/3πr₁rr₁r Сокращаем общие множители 2/3πr₁r: V_к/V_ш =r²+rr₁+r21/2r₁r

Проверка.

Размерность результата безразмерна, что верно для отношения объёмов. Если r=r₁ (конус превращается в цилиндр), то формула даёт 3r²/2r²=1.5. Для цилиндра с радиусом r и высотой 2r (так как шар вписан) объём цилиндра πr²(2r)=2πr³, объём шара 4/3πr³. Отношение 2πr³/4/3πr³=2/4/3=1.5. Совпадение подтверждает правильность вывода.