ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 544: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для нахождения объёма конуса нам необходимо знать радиус его основания R и высоту H. Формула объёма: V=1/3πR²H Радиус основания дан: R=6 дм. Высота H неизвестна, но она связана с радиусом вписанной сферы r=3 дм через геометрические свойства осевого сечения конуса. Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, а вписанная в конус сфера проецируется на этот треугольник как вписанная окружность. Таким образом, задача сводится к нахождению высоты равнобедренного треугольника по известным радиусу основания (половина основания треугольника) и радиусу вписанной окружности.

Вычисление.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник ABC, где AC=BC — образующие, AB=2R=12 дм — основание. Пусть O — центр вписанной окружности (сферы), r=3 дм — её радиус. Проведём высоту CH к основанию AB. Точка H является серединой AB, значит AH=HB=R=6 дм. Центр вписанной окружности лежит на высоте CH. Пусть OH=r=3 дм. Тогда высота конуса H_кон =CH=CO+OH. Однако удобнее использовать свойство биссектрисы или формулу радиуса вписанной окружности. В прямоугольном треугольнике AHC (где △AHC образован высотой, половиной основания и образующей) пусть угол при вершине C равен 2α, тогда угол ACH=α. Центр вписанной окружности O лежит на биссектрисе угла C, то есть на высоте CH. Расстояние от центра O до стороны AC равно r=3. Также расстояние от O до основания AB равно r=3. Рассмотрим треугольник AHO. Он прямоугольный (∠AHO=90^°). Гипотенуза AO не известна напрямую, но мы можем найти связь через углы. Более простой путь: используем формулу для радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник или подобие. Пусть высота конуса равна h. В прямоугольном треугольнике, образованном центром сферы O, точкой касания сферы с основанием H и проекцией центра на образующую, можно вывести зависимость. Используем метод координат или тригонометрию. В △AHC: AH=6, CH=h. Образующая l=AC=h²+6². Площадь треугольника S_ABC=1/2·AB·CH=1/2·12·h=6h. Также площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности: S=p·r. Полупериметр p=AB+AC+BC/2=12+2l/2=6+l. Тогда 6h=(6+l)·3. Делим на 3: 2h=6+l⇒l=2h-6. Подставим выражение для l в теорему Пифагора для △AHC: l²=h²+AH² (2h-6)²=h²+6² 4h²-24h+36=h²+36 3h²-24h=0 3h(h-8)=0 Так как h>0, то h=8 дм. Теперь найдём объём конуса: V=1/3πR²h=1/3π·6²·8=1/3π·36·8=12π·8=96π

Проверка.

Если высота h=8, то образующая l=8²+6²=64+36=100=10 дм. Полупериметр осевого сечения p=12+10+10/2=16 дм. Площадь сечения S=1/2·12·8=48 дм². Радиус вписанной окружности r=S/p=48/16=3 дм. Это совпадает с условием задачи. Объём вычислен верно.