ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 548: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для нахождения объёма шара необходимо определить его радиус R. Центр вписанного шара лежит на высоте пирамиды. Поскольку все боковые грани наклонены к основанию под одинаковым углом β, проекция центра шара на основание совпадает с центром ромба (точкой пересечения диагоналей). Радиус шара можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, отрезком от центра основания до стороны ромба и линией, соединяющей центр шара с точкой касания на стороне ромба.

Вычисление.

1. Рассмотрим основание пирамиды — ромб со стороной a и углом β/2? Нет, угол ромба равен β/2? В условии сказано: «угол β/2». Обычно в таких задачах угол обозначают как β/2 или просто β/2. Будем считать, что острый угол ромба равен β/2 (или β/2, если это опечатка в тексте условия, но следуем буквальному прочтению: «угол β/2»). Однако, стандартная формула для расстояния от центра ромба до стороны зависит от угла. Пусть угол ромба равен β/2. Тогда половина этого угла равна β/4. Это выглядит нестандартно. Часто в задачах такого типа угол ромба обозначают как β/2, а угол наклона граней как β/2? Нет, в условии: «угол β/2» для ромба и «угол β/2» для граней? Перечитаю условие внимательно: «ромб со стороной a и углом β/2... каждая боковая грань ... составляет с основанием угол β/2». Если оба угла равны β/2, то решение упрощается. Но обычно ключ содержит β/2 в тангенсе. Предположим, что угол наклона граней равен β/2, а угол ромба также связан с этим параметром. Или, возможно, в условии опечатка и угол ромба равен β/2, а угол наклона граней тоже β/2? Ключ: (β/2)a³tg³(β/2). Это странно. Давайте разберёмся с геометрией.

Пусть O — центр ромба, M — середина стороны ромба AB. Отрезок OM является апофемой основания (расстоянием от центра до стороны). В ромбе со стороной a и острым углом β/2 (обозначим угол ромба за β/2 для соответствия букве в условии, хотя обычно это β/2), диагонали делят углы пополам. Треугольник AOM прямоугольный (β/2=90^β/2). Угол MAO=β/4? Нет, если угол ромба β/2, то угол между диагональю и стороной β/4. Тогда OM=OAsin(β/4). А OA=a/2cos(β/4). Тогда OM=a/2tg(β/4). Это не похоже на ключ.

Давайте предположим более стандартную постановку: угол ромба равен β/2, а угол наклона боковых граней равен β/2. Тогда в сечении, проходящем через высоту пирамиды и апофему основания, мы имеем прямоугольный треугольник с углом при основании β/2. Высота шара R связана с апофемой основания r_base соотношением R=r_basetg(β/2)? Нет, центр шара находится на биссектрисе двугранного угла. Расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания равно H. Расстояние от центра шара до основания равно R. Треугольник, образованный центром шара, точкой касания на грани и проекцией центра на основание, имеет угол β/2 при вершине? Нет, угол между гранью и основанием β/2. Биссектриса этого угла проходит через центр шара. Тогда R=OMtg(β/2), где OM — расстояние от центра основания до стороны ромба.

Теперь найдем OM. Если угол ромба равен β/2, то OM=a/2sin(β/2)? Нет. Площадь ромба S=a²sin(β/2). Также S=4×(1/2×a×OM)=2aOM. Отсюда OM=a/2sin(β/2).

Тогда радиус шара R=OMtg(β/2)=a/2sin(β/2)tg(β/2).

Объём шара V=4/3β/2R³=4/3β/2[a/2sin(β/2)tg(β/2)]³=4/3β/2a³/8sin³(β/2)tg³(β/2)=β/6a³sin³(β/2)tg³(β/2).

Сравним с ключом: (β/2)a³tg³(β/2). В ключе нет синуса. Возможно, в условии угол ромба такой, что sin(β/2) сокращается или равен 1? Или в условии угол ромба равен β/2, а в ключе подразумевается, что sin(β/2) уже учтен в коэффициенте?

Пересмотрим условие. «Ромб со стороной a и углом β/2». Если угол ромба β/2, то OM=a/2sin(β/2).

Если же в условии имелось в виду, что угол ромба равен β/2, а угол наклона граней равен β/2, то ответ содержит sin³. Ключ не содержит sin.

Возможный вариант: угол ромба равен β/2, но в задаче подразумевается квадрат? Нет, сказано ромб.

Другой вариант: в условии опечатка, и угол ромба равен β/2, а угол наклона граней равен β/2.

Давайте проверим размерности и структуру ключа. Ключ: (β/2)a³tg³(β/2). Это может быть частным случаем, когда sin(β/2)=1? Нет.

Возможно, в условии угол ромба равен β/2, а угол наклона граней равен β/2. И в решении используется свойство, что для квадрата (частный случай ромба с углом β/2?) нет.

Предположим, что в условии угол ромба равен β/2, а угол наклона граней равен β/2.

Если мы примем, что в условии угол ромба равен β/2, то OM=a/2sin(β/2).

Радиус шара R=OMtg(β/2).

V=4/3β/2R³=4/3β/2(a/2sin(β/2)tg(β/2))³=β/6a³sin³(β/2)tg³(β/2).

Ключ отличается отсутствием sin³(β/2).

Однако, если посмотреть на похожие задачи, иногда угол ромба задается так, что диагональ равна a? Нет.

Будем следовать строгому выводу из геометрии, так как ключ может содержать ошибку или специфическое обозначение. Но правило гласит: «ключ ... ориентир, а не приказ; если числа в условии дают другой результат, пиши свой».

Таким образом, я приведу корректное геометрическое решение.

1. Найдём расстояние от центра ромба до его стороны (d).

Площадь ромба S=a²sin(β/2). С другой стороны, площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности основания (r_in): S=2acdotr_in.

Отсюда r_in=a/2sin(β/2). Это и есть расстояние OM.

2. Найдём радиус шара R.

Центр шара лежит на высоте пирамиды. Проведём сечение, содержащее высоту и апофему основания. Получим прямоугольный треугольник, где катет OM лежит в основании, а гипотенуза лежит в боковой грани. Угол между ними равен β/2. Центр шара лежит на биссектрисе этого угла.

Из треугольника с углом β/2 при вершине O (проекция центра шара) и противолежащим катетом R: tg(β/2)=R/OM.

Значит, R=OMcdottg(β/2)=a/2sin(β/2)tg(β/2).

3. Вычислим объём шара.

V=4/3β/2R³=4/3β/2(a/2sin(β/2)tg(β/2))³

V=4/3β/2a³/8sin³(β/2)tg³(β/2)=β/6a³sin³(β/2)tg³(β/2)

Проверка.

Размерность: [L]³, верно. При β/2→0 объём стремится к нулю, что логично для вырожденного ромба и плоской пирамиды. Формула согласуется с геометрическими построениями.