ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 545: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Линия касания сферы с боковой поверхностью конуса представляет собой окружность. Чтобы найти её длину, необходимо определить радиус этой окружности. Для этого рассмотрим осевое сечение конуса и вписанной в него сферы. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечениями сферы — круги (вписанный в треугольник). Линия касания на поверхности конуса проецируется на стороны осевого сечения как точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Радиус искомой окружности равен расстоянию от оси конуса до точки касания образующей со сферой. Мы можем найти этот радиус, используя подобие прямоугольных треугольников, образованных высотой конуса, радиусом основания и точкой касания.

Вычисление.

Пусть R — радиус основания конуса (по условию R=r), l — длина образующей. Высота конуса H=l²-r². Рассмотрим осевое сечение. Пусть O — центр основания конуса, S — вершина конуса, A — точка на окружности основания. Треугольник SOA — прямоугольный с катетами r и H, гипотенузой l. Сфера касается боковой поверхности по окружности радиуса x. В осевом сечении это соответствует точке касания K на стороне SA (образующей). Радиус сферы ρ можно найти из площади треугольника SOA: S_△=1/2rH. Также площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности? Нет, здесь проще использовать геометрию касания. Воспользуемся свойством: расстояние от вершины конуса S до точки касания K равно длине касательной из вершины к сфере. Но более прямой путь — через подобие. Проведём перпендикуляр из центра сферы I к образующей SA. Точка касания — K. Тогда IK=ρ (радиус сферы). Треугольники SKI и SOA не подобны напрямую так просто. Рассмотрим другой подход. Радиус окружности касания x связан с положением точки касания на образующей. Пусть SK=y. Тогда AK=l-y. Из свойства касательных к сфере из точки A (на основании) и точки S (вершина): Длина касательной из вершины S к сфере равна SK. Длина касательной из точки A к сфере равна AK. Также известно, что радиус сферы ρ определяется формулой для конуса: ρ=rH/r+l. Теперь найдём радиус окружности касания x. Эта окружность лежит в плоскости, параллельной основанию. Расстояние от вершины S до этой плоскости равно высоте малого конуса, отсекаемого этой плоскостью. Давайте найдём проекцию точки K на ось конуса. Или проще: используем подобие треугольников в осевом сечении. Пусть угол при вершине конуса равен 2α. Тогда sinα=r/l, cosα=H/l. Центр сферы I лежит на высоте SO. Расстояние SI=ρ/sinα. Радиус окружности касания x равен расстоянию от оси до точки K. В прямоугольном треугольнике SKI (где угол SKI=90^° нет, там IK⊥SK): Рассмотрим треугольник SIK. Он прямоугольный (∠IKS=90^°). Угол ISK=α. Тогда SK=SIcosα. А радиус окружности касания x — это горизонтальная проекция отрезка SK? Нет. Точка K находится на образующей. Её расстояние до оси конуса x можно найти из треугольника, образованного осью, образующей и перпендикуляром к оси. В треугольнике SOA: координата точки K на образующей. Расстояние от вершины S до точки касания K равно SK. Из прямоугольного треугольника IKS (где I — центр сферы, K — точка касания, IK⊥SK): SI=ρ/sinα. SK=SIcosα=ρcosα/sinα=ρcotα. Подставим ρ=rH/r+l и cotα=H/r: SK=rH/r+l·H/r=H²/r+l=l²-r²/r+l=(l-r)(l+r)/r+l=l-r. Итак, расстояние от вершины до точки касания по образующей равно l-r. Теперь найдём радиус окружности касания x. По теореме Пифагора или подобию: Отношение радиуса окружности касания x к радиусу основания r равно отношению расстояния от вершины до плоскости касания к высоте конуса? Нет, лучше через подобие треугольников SOA и треугольника, образованного осью, частью образующей SK и перпендикуляром к оси. Пусть x — искомый радиус. Треугольник, образованный осью конуса, отрезком SK и перпендикуляром из K к оси, подобен треугольнику SOA. Гипотенуза малого треугольника — SK=l-r. Гипотенуза большого треугольника — SA=l. Катет, соответствующий радиусу x, относится к катету r как гипотенузы: x/r=SK/SA=l-r/l. Отсюда x=r·l-r/l. Длина линии касания (окружности) равна L=2πx. L=2π·r(l-r)/l.

Проверка.

Размерность ответа: [L]=[безразм]·[длина]=длина, что верно для длины линии. Предельные случаи: 1. Если l=r (конус вырождается в плоский диск, высота 0), то L=2πr(0)/r=0. Это логично, так как сфера не может быть вписана в плоскую фигуру с объёмом, либо линия касания схлопывается. 2. Если l≫r (очень высокий узкий конус), то l-r/l≈1, и L≈2πr. При очень высоком конусе сфера становится почти шаром, вписанным в цилиндр радиуса r? Нет, при l→∞, угол α→0. Формула радиуса сферы ρ≈r. Точка касания смещается вниз. Проверим точнее: если конус очень высокий, его боковая поверхность близка к цилиндрической? Нет, она близка к вертикальной. Сфера касается «стенок». Радиус окружности касания должен быть близок к r. Да, x→r. Ответ совпадает с интуицией.