ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 541: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для нахождения объёма конуса V=1/3πR²H необходимо определить радиус основания конуса R и его высоту H. Так как в основание конуса (круг) вписан прямоугольник, диагональ этого прямоугольника является диаметром окружности основания конуса. Следовательно, R=d/2, где d — диагональ прямоугольника. Высоту конуса H найдём из условия о двугранном угле при боковой грани, содержащей меньшую сторону основания.

Вычисление радиуса основания R.

Пусть стороны прямоугольника равны a (меньшая сторона) и b (большая сторона). Диагонали прямоугольника пересекаются в центре окружности, делясь пополам. Рассмотрим треугольник, образованный центром окружности и двумя вершинами прямоугольника, соединёнными меньшей стороной a. Угол при вершине этого равнобедренного треугольника равен β/2 или β/2+β/2? Нет, угол между диагоналями делит их на четыре угла. Два противоположных угла равны β, два других — 180^o-β. Поскольку сторона a меньше стороны b, она стягивает меньший центральный угол. В условии сказано, что острый угол между диагоналями равен β. Значит, сторона a видна из центра под углом β. Рассмотрим равнобедренный треугольник с боковыми сторонами R и основанием a. Опустим перпендикуляр из центра к стороне a. Он делит угол β пополам и сторону a пополам. Из прямоугольного треугольника: sin(β/2)=a/2/R Отсюда выразим радиус: R=a/2sin(β/2)

Вычисление высоты конуса H.

Боковая грань конуса, содержащая сторону a, представляет собой треугольник с основанием a и боковыми сторонами, равными образующей конуса l. Проведём апофему этой грани (высоту треугольной грани), опущенную из вершины конуса на середину стороны a. Обозначим её m_a. По условию, эта грань составляет с плоскостью основания угол θ. Это означает, что угол между апофемой m_a и её проекцией на плоскость основания равен θ. Проекцией апофемы на плоскость основания является отрезок, соединяющий центр основания с серединой хорды a. Этот отрезок является расстоянием от центра до стороны a. Обозначим его r_a. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса H, апофемой m_a и отрезком r_a: tanθ=H/r_aimpliesH=r_a·tanθ Найдём r_a. В том же равнобедренном треугольнике с основанием a и боковыми сторонами R, который мы рассматривали выше, r_a — это высота, проведённая к основанию a. Из того же прямоугольного треугольника с углом β/2: cos(β/2)=r_a/Rimpliesr_a=Rcos(β/2) Подставим выражение для R: r_a=a/2sin(β/2)·cos(β/2)=a/2cot(β/2) Тогда высота конуса: H=a/2cot(β/2)tanθ

Расчёт объёма и проверка.

Объём конуса: V=1/3πR²H Подставим найденные R и H: V=1/3π(a/2sin(β/2))²·(a/2cot(β/2)tanθ) V=1/3πa²/4sin²(β/2)·acos(β/2)/2sin(β/2)tanθ V=πa³cos(β/2)tanθ/24sin³(β/2) Используем тождество cotx=cosx/sinx, можно записать иначе через котангенс половинного угла, но форма с синусом и косинусом более стандартна. Сравним с ключом: πa³tanθ/24sin²(β/2)tan(β/2). Заметим, что tan(β/2)=sin(β/2)/cos(β/2). Тогда знаменатель ключа: 24sin²(β/2)sin(β/2)/cos(β/2)=24sin³(β/2)/cos(β/2). Инвертируя дробь, получаем множитель cos(β/2)/24sin³(β/2), что совпадает с нашим результатом. Ответ верен.