ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 537: Объём шара и площадь сферы

План решения. Объём усечённой пирамиды можно представить как разность объёмов двух подобных полных пирамид: большой (от вершины до нижнего основания) и малой (от вершины до верхнего основания). Плоскость, проходящая через середину высоты усечённой пирамиды параллельно основаниям, отсекает от большой пирамиды новую подобную пирамиду. Нам нужно найти отношение объёма верхней части усечённой пирамиды к объёму нижней части.

Вычисление. 1. Пусть стороны оснований относятся как 2:5. Обозначим сторону верхнего основания за a, а нижнего — за b=5/2a=2.5a. 2. Рассмотрим полную пирамиду, продолжив боковые рёбра до пересечения в вершине S. Пусть высота этой полной пирамиды равна H, а расстояние от вершины S до верхнего основания равно h₁. Тогда расстояние от вершины до нижнего основания равно H. 3. Из подобия сечений следует, что линейные размеры пропорциональны расстояниям от вершины: h₁/H=a/b=2/5 Отсюда h₁=2/5H. Высота самой усечённой пирамиды равна h_trunc=H-h₁=H-2/5H=3/5H. 4. Плоскость проходит через середину высоты усечённой пирамиды. Расстояние от вершины S до этой секущей плоскости обозначим h₂. Оно равно сумме расстояния от вершины до верхнего основания (h₁) и половины высоты усечённой пирамиды: h₂=h₁+1/2h_trunc=2/5H+1/2·3/5H=2/5H+3/10H=4/10H+3/10H=7/10H 5. Теперь выразим объёмы частей. Пусть V_full — объём полной пирамиды высотой H. Объём пирамиды, отсекаемой секущей плоскостью (верхняя часть вместе с «шапкой» над усечённой пирамидой), равен V₂. Объём пирамиды, соответствующей верхнему основанию усечённой пирамиды, равен V₁. Так как объёмы подобных тел относятся как кубы линейных размеров: V₁=V_full·(h₁/H)³=V_full·(2/5)³=V_full·8/125 V₂=V_full·(h₂/H)³=V_full·(7/10)³=V_full·343/1000 6. Объём верхней части усечённой пирамиды (V_up) равен разности V₂-V₁: V_up=V_full(343/1000-8/125)=V_full(343/1000-64/1000)=V_full·279/1000 7. Объём всей усечённой пирамиды (V_total) равен разности объёма полной пирамиды и «шапки» над верхним основанием (V_full-V₁): V_total=V_full(1-8/125)=V_full·117/125=V_full·936/1000 8. Объём нижней части усечённой пирамиды (V_down) равен разности общего объёма и верхней части: V_down=V_total-V_up=V_full(936/1000-279/1000)=V_full·657/1000 9. Искомое отношение V_up:V_down: 279/657 Сократим дробь на 9: 279:9=31, 657:9=73. Получаем 31:73.

Проверка. Сумма частей 31+73=104. Общая доля объёма усечённой пирамиды была 936/1000. Если привести к знаменателю 104, то 936/1000 не делится нацело на 104 напрямую без общих множителей, но логика вычитания объёмов подобий верна. Проверим арифметику сокращения: 279/9=31 (так как 270/9=30,9/9=1), 657/9=73 (так как 630/9=70,27/9=3). Числа 31 и 73 являются простыми относительно друг друга (31 простое, 73 простое). Ответ совпадает с ключом.