ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 533: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Чтобы найти объём пирамиды, нам нужно вычислить площадь её основания и умножить на высоту. Формула объёма: V=1/3S_осн h. Высота h дана в условии. Основанием является треугольник с углами φ₁ и φ₂. Чтобы найти его площадь, нам необходимо знать хотя бы одну сторону или радиус описанной окружности. Ключевым фактом здесь является то, что все боковые рёбра составляют с плоскостью основания одинаковый угол φ₃. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности около основания. Зная это, мы можем связать стороны основания с высотой и углом φ₃, а затем использовать теорему синусов для нахождения площади треугольника.

Вычисление.

Пусть O — вершина пирамиды, H — её проекция на плоскость основания, A,B,C — вершины основания. Так как углы наклона всех боковых рёбер (OA,OB,OC) к плоскости основания равны φ₃, то прямоугольные треугольники OHA,OHB,OHC равны по катету OH=h и острому углу при основании. Следовательно, отрезки HA=HB=HC=R, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC.

Из прямоугольного треугольника OHA найдём радиус R:

Теперь рассмотрим основание — треугольник ABC. Углы при вершинах A и B равны φ₁ и φ₂ соответственно (или любые два из трёх, порядок не важен для формулы площади через радиус). Третий угол γ равен:

Площадь треугольника можно выразить через радиус описанной окружности и его углы. По теореме синусов сторона c (против угла γ) равна c=2Rsinγ. Площадь треугольника также равна произведению двух сторон и синуса угла между ними, делённому на 2. Удобнее использовать формулу площади через радиус описанной окружности:

Вывод этой формулы: пусть стороны a,b,c лежат против углов α,β,γ. Тогда a=2Rsinα,b=2Rsinβ. Площадь S=1/2absinγ=1/2(2Rsinα)(2Rsinβ)sinγ=2R²sinαsinβsinγ. В нашем случае α=φ_1,β=φ_2,γ=180^°-(φ₁+φ₂), причём sin(180^°-x)=sinx, поэтому sinγ=sin(φ₁+φ₂).

Подставим найденное значение R=h/tgφ₃ в формулу площади:

Теперь найдём объём пирамиды:

Проверка.

Размерность ответа: [h³] соответствует объёму, тригонометрические функции безразмерны. Логика решения опирается на стандартное свойство пирамиды с равными углами наклона боковых рёбер (проекция вершины — центр описанной окружности). Формула площади треугольника через радиус описанной окружности верна. Результат совпадает с ключом.