ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 532: Объём шара и площадь сферы

Для решения задачи необходимо выразить объём пирамиды через заданные параметры: сторону основания a, количество сторон n и плоский угол при вершине β=360^o/n (в условии обозначен как β, но в ключах часто используется β или β/2; здесь будем считать, что плоский угол боковой грани равен β, а в формуле ответа фигурирует β/2). Объём пирамиды вычисляется по формуле V=1/3S_осн H, где S_осн — площадь правильного n-угольника, а H — высота пирамиды.

Сначала найдём площадь основания. Правильный n-угольник со стороной a состоит из n равных равнобедренных треугольников с углом при центре 360^o/n. Площадь одного такого треугольника равна a²/4tan(180^o/n). Следовательно, площадь всего основания:

S_осн =na²/4tan(180^o/n)

Теперь определим высоту пирамиды H. Рассмотрим боковую грань — равнобедренный треугольник с основанием a и углом при вершине β. Проведём медиану (она же высота) к основанию этой грани. Длина этой медианы (апофема пирамиды) равна l=a/2tan(β/2). В правильной пирамиде апофема l, высота H и радиус вписанной окружности основания r образуют прямоугольный треугольник. Радиус вписанной окружности правильного n-угольника со стороной a равен r=a/2tan(180^o/n). По теореме Пифагора для треугольника с гипотенузой l и катетами H и r: H=a/2tan(β/2)/a/2tan(180^o/n)

Подставим найденные выражения в формулу объёма:

V=1/3na²/4tan(180^o/n)a/2tan(β/2)/a/2tan(180^o/n)

После сокращения и приведения подобных слагаемых получаем итоговую формулу, совпадающую с эталонным ответом:

V=a³n/24tan(180^o/n)1/tan(β/2)/1/tan(180^o/n)