ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 529: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для нахождения объёма правильной треугольной пирамиды V=1/3S_осн H нам необходимо выразить площадь основания S_осн и высоту пирамиды H через заданные параметры: угол φ между боковой гранью и плоскостью основания, а также расстояние m от вершины основания до не лежащей в этой грани боковой стороны (или ребра). В условии сказано: «не лежащая в этой грани вершина основания находится на расстоянии m от неё». Под «ней» понимается боковая грань. То есть, если мы возьмём одну из боковых граней, то противоположная ей вершина основания удалена от плоскости этой грани на расстояние m. Это ключевой геометрический факт для связи линейных размеров.

Вычисление.

Пусть ABC — основание пирамиды (правильный треугольник со стороной a), S — вершина пирамиды. Пусть рассматриваемая боковая грань — это SAB. Тогда вершина C не лежит в этой грани. По условию, расстояние от точки C до плоскости грани SAB равно m. 1. Связь высоты пирамиды H и расстояния m. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту SO (O — центр основания) и медиану CM основания (M — середина AB). Так как пирамида правильная, то SM⊥AB и CM⊥AB. Следовательно, угол ∠SMO является двугранным углом при ребре AB, то есть β=φ. В прямоугольном треугольнике SOM: SO=H, OM=r (радиус вписанной окружности), SM=l (апофема). Из треугольника SOM: H=rtanφ. Для правильного треугольника со стороной a: r=a3/6, а высота основания h_a=CM=a3/2=3r. Значит, CM=3r. Теперь найдём расстояние от C до плоскости SAB. Плоскость SAB содержит прямую AB и точку S. Прямая AB перпендикулярна плоскости SCM (так как AB⊥SM и AB⊥CM). Значит, проекцией точки C на плоскость SAB будет точка K, лежащая на прямой SM (линии пересечения плоскостей SCM и SAB). Расстояние CK — это перпендикуляр, опущенный из C на SM в треугольнике SCM. Треугольник SCM — прямоугольный? Нет, он просто лежит в секущей плоскости. Но мы знаем углы. Угол ∠SMC=φ (это тот же самый линейный угол двугранного угла). В треугольнике CKM (где K — проекция C на SM, значит △CKM прямоугольный с прямым углом при K): гипотенуза CM, катет CK=m. Угол ∠KMC=φ. Следовательно, m=CMsinφ. Отсюда выражаем CM: CM=m/sinφ. 2. Нахождение параметров основания и высоты. Мы знаем, что CM=3r. Значит: 3r=m/sinφimpliesr=m/3sinφ Теперь найдём сторону основания a. Для правильного треугольника r=a3/6, откуда a=6r/3=2r3. Подставим r: a=23·m/3sinφ=2m3/3sinφ Площадь основания S_осн =a²3/4: S_осн =3/4(2m3/3sinφ)²=3/4·4m²·3/9sin²φ=3·12m²/36sin²φ=m²3/3sin²φ Теперь найдём высоту пирамиды H. Ранее мы установили связь H=rtanφ. H=m/3sinφ·sinφ/cosφ=m/3cosφ 3. Объём пирамиды. V=1/3S_осн H=1/3·m²3/3sin²φ·m/3cosφ V=m³3/27sin²φcosφ

Проверка.

Размерность ответа: [m³] — объём, верно. При φ→0 (пирамида сплющивается) знаменатель стремится к 0, объём стремится к бесконечности? Нет, при малом угле sinφ≈φ, cosφ≈1. Если фиксировано m (расстояние от вершины до грани), то при уменьшении угла наклона граней, сторона основания должна расти, чтобы сохранить расстояние m до грани? Давайте проверим логику. m=CMsinφ. Если φ мало, то CM должно быть огромным, чтобы произведение было равно m. Да, основание становится очень широким. Высота H=CM/3tanφ≈CM/3·φ=(m/sinφ)/3·tanφ≈m/(3φ)·φ=m/3. Высота конечна, основание огромное, объём огромный. Формула даёт деление на малое число, результат большой. Логика сходится. Ключ совпадает с полученным результатом.