ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 526: Объём шара и площадь сферы

План доказательства.

Для доказательства утверждения удобно использовать метод дополнения треугольной призмы до параллелепипеда. Пусть дана треугольная призма ABCA₁B₁C₁. Мы можем достроить её до параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, где основание ABCD — параллелограмм, составленный из двух равных треугольников ABC и ACD. Объём такой призмы составляет ровно половину объёма полученного параллелепипеда.

Вычисление и вывод формулы.

Рассмотрим боковую грань призмы, например, AA₁C₁C. В построенном параллелепипеде эта грань является общей для призмы и второй части (которая также является треугольной призмой). Площадь этой грани обозначим через S_бок. Объём параллелепипеда можно вычислить как произведение площади любой его грани на расстояние от этой грани до противоположной ей грани. Однако нам нужно связать объём с расстоянием до ребра. Вспомним формулу объёма параллелепипеда: V_пар =S_осн ·H, где H — высота параллелепипеда. Но есть и другой способ: V_пар =S_бок ·d, где d — расстояние между двумя параллельными плоскостями, содержащими противоположные боковые грани? Нет, это не совсем так для произвольной грани. Давайте подойдем иначе. Рассмотрим треугольную призму ABCA₁B₁C₁. Возьмем боковую грань BCC₁B₁. Противоположным ей ребром является ребро AA₁. Расстояние от ребра AA₁ до плоскости грани BCC₁B₁ обозначим через h. Так как ребро AA₁ параллельно плоскости BCC₁B₁, то это расстояние постоянно вдоль всего ребра. Достроим призму до параллелепипеда ABCA′B′ (где A′ соответствует точке A, симметричной относительно центра грани или просто продолжением основания). Более простой путь: разобьем параллелепипед диагональным сечением, проходящим через ребро AA₁ и ребро CC₁? Нет. Вернемся к указанию: «Построить треугольную призму до параллелепипеда». Пусть объем треугольной призмы равен V. Тогда объем соответствующего параллелепипеда равен 2V. Рассмотрим боковую грань призмы, скажем, ACC₁A₁. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ эта грань является одной из боковых граней. Противоположной ей гранью параллелепипеда является BDD₁B₁. Ребро BB₁ лежит в этой противоположной грани. Расстояние от ребра BB₁ до грани ACC₁A₁ равно расстоянию между параллельными плоскостями (ACC₁A₁) и (BDD₁B₁). Обозначим это расстояние за d. Тогда объем параллелепипеда можно представить как произведение площади грани ACC₁A₁ на расстояние до противоположной грани: V_пар =S_ACC1A1·d Так как V_призмы =1/2V_пар, то: V_призмы =1/2S_{боковой~грани} ·d Здесь d — это именно расстояние от выбранной боковой грани до параллельного ей ребра (ребро BB₁ параллельно плоскости грани ACC₁A₁). Аналогично для любой другой боковой грани. Например, если взять грань ABB₁A₁, то параллельным ей ребром будет CC₁, а расстояние от него до грани будет высотой параллелепипеда, опущенной на эту грань (в смысле расстояния между параллельными гранями).

Проверка логики.

Формула верна для любой треугольной призмы. Если мы возьмем прямую треугольную призму, то боковая грань — прямоугольник. Расстояние от противоположного ребра до этой грани — это высота треугольного основания, проведенная к стороне, лежащей в этой грани. Объем призмы V=S_осн ·H_призмы =1/2ah_a·H_призмы. Площадь боковой грани S_бок =a·H_призмы. Тогда 1/2S_бок ·h_a=1/2(a·H_призмы)·h_a=V. Совпадает. Для наклонной призмы рассуждение через достраивание до параллелепипеда остается справедливым, так как объем параллелепипеда равен произведению площади грани на расстояние до противоположной грани, а треугольная призма занимает ровно половину этого объема.