ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 523: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для нахождения объёма прямой призмы необходимо вычислить площадь её основания и умножить на высоту. Основанием является прямоугольный треугольник. В прямой призме с n-угольным основанием всего 3n рёбер: 2n рёбер в двух основаниях и n боковых рёбер. Так как основание — треугольник (n=3), то всего 9 рёбер. По условию пять рёбер равны a, а остальные четыре равны друг другу. Нам нужно определить, какие именно рёбра относятся к какой группе, чтобы восстановить геометрию треугольника и найти высоту призмы.

Вычисление.

Рассмотрим распределение длин рёбер. Пусть длина бокового ребра (высота призмы) равна h. Тогда у нас есть два варианта:

1. Боковые рёбра входят в группу из 5 равных рёбер длиной a. Тогда h=a. Остальные 4 ребра принадлежат основаниям. Поскольку основания конгруэнтны, в каждом основании по 2 ребра длиной b (где b — длина остальных рёбер). Значит, стороны одного треугольного основания равны a,b,b. Но так как это прямоугольный треугольник, гипотенуза должна быть больше катетов. Если a — катет, то b может быть другим катетом или гипотенузой. Однако, если в основании две стороны равны b, а третья a, то для прямоугольного треугольника возможны случаи: либо a — гипотенуза (a²=b²+b²⇒a=b2), либо один из углов при стороне a прямой (тогда b — гипотенуза, b²=a²+b², что невозможно). Если a=b2, то стороны основания a,a/2,a/2. Проверим количество рёбер: 3 боковых ( a )+6 рёбер оснований. В условии сказано, что 5 рёбер равны a. Если все 3 боковых равны a, то ещё 2 ребра в основаниях должны быть равны a. Это означает, что в треугольнике со сторонами a,b,b одна из сторон b равна a? Нет, тогда все стороны были бы связаны иначе. Давайте переформулируем: у нас 9 рёбер. 5 штук имеют длину a. 4 штуки имеют длину x.
   Возможная конфигурация 1: Все 3 боковых ребра равны a. Тогда в основаниях должно быть ещё 5-3=2 ребра длиной a. Всего в двух основаниях 6 рёбер. Из них 2 равны a, значит, 4 равны x. Так как основания одинаковы, в каждом основании одно ребро равно a, а два других равны x. Стороны треугольника: a,x,x. Треугольник прямоугольный. Гипотенуза не может быть меньше катета. Если a — гипотенуза, то a²=x²+x²=2x²⇒x=a/2. Если x — гипотенуза, то x²=a²+x², что невозможно. Значит, a — гипотенуза, а x — катеты. Площадь основания S=1/2·x·x=1/2x²=1/2·a²/2=a²/4. Объём V=S·h=a²/4·a=a³/4.
   Возможная конфигурация 2: Боковые ребра равны x. Тогда все 3 боковых ребра входят в группу из 4 равных рёбер. Значит, x встречается 3 раза в боковых и ещё 1 раз в основаниях? Нет, всего 4 ребра длины x. Если 3 боковых равны x, то в основаниях только 1 ребро равно x. Но рёбра в основаниях идут парами (по одному в каждом основании соответствующей стороне). Невозможно иметь нечётное количество рёбер определённой длины в симметричных основаниях, кроме случая, когда разные стороны имеют разные длины. В треугольнике 3 стороны. Обозначим их c_1,c_2,c₃. В двух основаниях имеем 2c_1,2c_2,2c₃. Всего 6 рёбер оснований. Плюс 3 боковых. Итого 9. Группа из 5 рёбер a и группа из 4 рёбер x.
   Если боковые ребра x, то 3 из группы x заняты боковыми. Остаётся 1 ребро x в основаниях. Это невозможно, так как рёбра оснований появляются парами (если сторона треугольника имеет длину L, то в обоих основаниях есть по одному ребру этой длины, итого 2). Единственное исключение — если мы считаем конкретные отрезки, но структура призмы такова, что множества длин сторон повторяются дважды. Поэтому количество рёбер каждой длины в основаниях должно быть чётным. Следовательно, общее количество рёбер данной длины (с учётом боковых) зависит от того, являются ли боковые частью этой длины.
   Пусть боковые ребра имеют длину a. Тогда в группе a уже 3 ребра. Нужно ещё 2 ребра из оснований, чтобы сумма стала 5. Значит, в основаниях ровно 2 ребра имеют длину a. Поскольку рёбра в основаниях парные, это означает, что одна сторона треугольника имеет длину a (и она представлена двумя рёбрами в двух основаниях). Две другие стороны треугольника имеют длину x (так как всего 4 ребра длины x, и они все находятся в основаниях, т.к. боковые равны a). Значит, стороны треугольника: a,x,x. Это равнобедренный треугольник. Он прямоугольный. Как мы выяснили выше, гипотенузой может быть только a (так как x²+x²=a²), либо один из углов при основании прямой? Если угол при вершине против стороны a прямой, то a — гипотенуза. Если угол при основании прямой, то катеты a и x, гипотенуза x? Нет, тогда x²=a²+x² — бред. Или катеты x и x, гипотенуза a? Да, это возможно. Или катеты a и x, гипотенуза x? Нет. Или катеты a и x, гипотенуза другая сторона? У нас стороны a,x,x. Прямой угол может быть только между равными сторонами x и x (тогда a — гипотенуза) или между a и x (тогда другая x — гипотенуза, что невозможно). Значит, единственный вариант: катеты равны x, гипотенуза a.
   Тогда a²=x²+x²=2x²⇒x²=a²/2.
   Площадь основания S_осн =1/2·x·x=x²/2=a²/2/2=a²/4.
   Высота призмы h=a (так как боковые рёбра вошли в группу a).
   Объём V=S_осн ·h=a²/4·a=a³/4.

Проверим другой случай: пусть боковые рёбра имеют длину x. Тогда 3 боковых ребра составляют часть группы из 4 рёбер x. В основаниях остаётся 4-3=1 ребро длины x. Это невозможно, так как рёбра в основаниях идут парами (каждая сторона треугольника присутствует в верхнем и нижнем основании). Количество рёбер любой длины в основаниях всегда чётно. Следовательно, боковые рёбра не могут быть равны x, если x встречается всего 4 раза в общей сложности (3 боковых + 1 в основании — нарушение симметрии). А если бы боковые были x, то в группе x было бы минимум 3 (боковые) + четное число (в основаниях). Итого минимум 5. Но у нас в группе x только 4 ребра. Противоречие. Значит, боковые рёбра обязательно равны a.

Ответ.

Объём призмы равен a³/4.