ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 519: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Павел Лебедев, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В прямоугольном параллелепипеде диагонали трёх граней, выходящие из одной вершины, равны 7 см, 8 см и 9 см. Найдите объём параллелепипеда.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда как a, b и c. Диагонали граней, выходящие из одной вершины, являются гипотенузами прямоугольных треугольников, катеты которых — соответствующие пары измерений. Нам даны длины этих диагоналей: d1=7, d2=8, d3=9. Объём параллелепипеда равен произведению его измерений: V=abc. Наша задача — найти abc, используя систему уравнений для квадратов диагоналей.
Вычисление.
Запишем теорему Пифагора для каждой грани:
- a2+b2=72=49
- b2+c2=82=64
- a2+c2=92=81
Сложим все три уравнения:
(a2+b2)+(b2+c2)+(a2+c2)=49+64+81 2(a2+b2+c2)=194 a2+b2+c2=97Теперь выразим квадрат каждого измерения, вычитая из суммы попарные суммы:
- c2=(a2+b2+c2)-(a2+b2)=97-49=48⇒c=48=43
- a2=(a2+b2+c2)-(b2+c2)=97-64=33⇒a=33
- b2=(a2+b2+c2)-(a2+c2)=97-81=16⇒b=16=4
Найдём объём V=abc:
V=33·4·43=1633·3=1699Упростим корень: 99=9·11=311.
V=16·311=4811 см³Проверка.
Подставим найденные значения a=33, b=4, c=43 обратно в исходные условия для диагоналей граней:
- Диагональ грани ab: 33+16=49=7 (верно).
- Диагональ грани bc: 16+48=64=8 (верно).
- Диагональ грани ac: 33+48=81=9 (верно).
Расчёты подтверждают правильность нахождения сторон и итоговый объём.
48\sqrt{11} см³
Решение основано на системе уравнений, полученной из теоремы Пифагора для граней параллелепипеда. Ключевой шаг — суммирование всех трёх уравнений для нахождения суммы квадратов сторон, а затем последовательное вычитание для нахождения каждой стороны отдельно.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 519 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 519?
Краткий ответ: 48√11 см³.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.