10–11 классы Объём шара и площадь сферы § 4. Объём шара и площадь сферы

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 517: Объём шара и площадь сферы

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Павел Лебедев, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 516 518 →

Условие

Докажите, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Для доказательства равенства площадей необходимо выразить площадь поверхности сферы и полную поверхность конуса через радиус сферы R. Затем сравним полученные выражения. Введем обозначения: пусть радиус сферы равен R, тогда её диаметр равен 2R. Согласно условию задачи, высота конуса h равна диаметру сферы, а диаметр основания конуса d_кон равен его образующей l.

Вычисление площади сферы.

Формула площади поверхности сферы известна из курса геометрии:

S_сферы =4πR²

Это значение мы будем использовать как эталон для сравнения.

Вычисление полной поверхности конуса.

Обозначим радиус основания конуса за r. Тогда диаметр основания равен 2r. По условию, диаметр основания равен образующей конуса, то есть:

l=2rimpliesr=l/2

Также по условию высота конуса h равна диаметру сферы (2R):

h=2R

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса, радиусом основания и образующей, справедлива теорема Пифагора:

l²=h²+r²

Подставим известные соотношения (h=2R и r=l/2) в это уравнение:

l²=(2R)²+(l/2)² l²=4R²+l²/4

Перенесем слагаемые с l в одну сторону:

l²-l²/4=4R² 3l²/4=4R² l²=16R²/3

Теперь найдем полную поверхность конуса. Формула полной поверхности конуса:

S_{полн. конуса} =πrl+πr²=πr(l+r)

Так как r=l/2, подставим это выражение:

S_{полн. конуса} =π·l/2·(l+l/2)=π·l/2·3l/2=3πl²/4

Подставим найденное ранее значение l²=16R²/3:

S_{полн. конуса} =3π/4·16R²/3

Сократим дроби:

S_{полн. конуса} =π·4R²=4πR²

Проверка и вывод.

Мы получили, что площадь поверхности сферы равна 4πR², а полная поверхность описанного конуса также равна 4πR². Таким образом, утверждение доказано: площади равны.

Ответ

Доказано: S_сферы = S_полн. конуса = 4πR^2

Задача требует аккуратной работы с параметрами конуса. Ключевой момент — связать образующую l и радиус основания r через условие 'диаметр основания равен образующей' (l=2r), а затем найти связь между l и R через теорему Пифагора, используя высоту h=2R.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 517 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 517?

Краткий ответ: Доказано: S_сферы = S_полн. конуса = 4πR^2.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.